高考数学函数奇偶性专项训练-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知定义在 $\mathrm{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(x+2)=-f(2-x) ， f(x+3)=f(3-x)$ ，则下列说法正确的是

$ \text{A.}$ $f(x)$ 的周期为 2 $ \text{B.}$ $f(x+2)$ 为偶函数 $ \text{C.}$ $f(0)=0$ $ \text{D.}$ $f(1)=0$

答案：

解析：

由 $f(x+2)=-f(2-x)$ ，得 $f(x+4)=-f(-x)$ ，由 $f(x+3)=f(3-x)$ ，得 $f(x+6)=f(-x)$ ，所以 $f(x+6)=-f(x+4)=f(x+2)$ ，即 $f(x)$ 的周期为4，A选项错误；
由 $f(x+2)=-f(2-x)$ 可知 $f(x)$ 的图象关于点 $(2,0)$ 对称，所以 $f(0)=-f(2)=0$ ，C选项正确，
由 $f(x+3)=f(3-x)$ 知 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=3$ 对称，所以 $f(x+2)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称，
进一步可知 $f(x)$ 图象的对称轴方程为 $x=m$ ( $m$ 为奇数），所以 $f(x+2)$ 不是偶函数，B选项错误；
$f(x)$ 的对称中心为点 $(n, 0)$ ( $n$ 为偶数），无法得到 $f(1)=0$ ，D选项错误，
故选: C.

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