山东省2022年普通高中物理学业水平等级考试（高考物理）-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

如图所示, $x O y$ 平面的第一、三象限内以坐标原点 $O$ 为圆心、半径为 $\sqrt{2} L$ 的扇形区域充满方向垂直纸面向外的匀强磁场。边长为 $L$ 的正方形金属框绕其始终在 $O$ 点的顶点、在 $x O y$ 平面内以角速度 $\omega$ 顺时针匀速转动, $t=0$ 时刻, 金属框开始进入第一象限。不考虑自感影响, 关于金属框中感应电动势 $E$ 随时间 $t$ 变化规律的描述正确的是

$ \text{A.}$ 在 $t=0$ 到 $t=\frac{\pi}{2 \omega}$ 的过程中, $E$ 一直增大 $ \text{B.}$ 在 $t=0$ 到 $t=\frac{\pi}{2 \omega}$ 的过程中, $E$ 先增大后减小 $ \text{C.}$ 在 $t=0$ 到 $t=\frac{\pi}{4 \omega}$ 的过程中, $E$ 的变化率一直增大 $ \text{D.}$ 在 $t=0$ 到 $t=\frac{\pi}{4 \omega}$ 的过程中, $E$ 的变化率一直减小

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答案：

解析：

AB，如图所示

在 $t=0$ 到 $t=\frac{\pi}{2 \omega}$ 的过程中, 线框的有效切割长度先变大再变小, 当 $t=\frac{\pi}{4 \omega}$ 时, 有效切割长度最大为 $\sqrt{2} L$, 此时, 感应电动势最大, 所以在 $t=0$ 到 $t=\frac{\pi}{2 \omega}$ 的过程中, $E$ 先增大后减小, 故 B 正确, A 错误;
$\mathrm{CD}$. 在 $t=0$ 到 $t=\frac{\pi}{4 \omega}$ 的过程中, 设转过的角度为 $\theta$, 由几何关系可得 $\theta=\omega t$ 进入磁场部分线框的面积 $S=\frac{L \cdot L \tan \theta}{2}$ 穿过线圈的磁通量 $\Phi=B S=\frac{B L^2 \tan \omega t}{2}$.

线圈产生的感应电动势 $E=\Phi^{\prime}=\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}$ 感应电动势的变化率 $\frac{\Delta E}{\Delta t}=E^{\prime}$
对 $\Phi=\frac{B L^2 \tan \omega t}{2}$ 求二次导数得 $\frac{\Delta E}{\Delta t}=B L^2 \omega^2 \sec ^2 \omega t \tan \omega t$ 。
在 $t=0$ 到 $t=\frac{\pi}{4 \omega}$ 的过程中 $B L^2 \omega^2 \sec ^2 \omega t \tan \omega t$ 一直变大, 所以 $E$ 的变化率一直增大, 故
C 正确, D 错误。

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