2022-2023学年周口市中考第一轮模拟试卷与解析-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

综合与实践
综合与实践课上, 老师与同学们以 “特殊的三角形” 为主题开展数学活动.
(1) 操作判断
如图 1, 在 $\triangle A B C$ 中, $\angle A B C=90^{\circ}, A B=B C$, 点 $P$ 是直线 $A C$ 上一动点.
操作：连接 $B P$, 将线段 $B P$ 绕点 $P$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 得到 $P D$, 连接 $D C$, 如图 2 .
根据以上操作, 判断: 如图 3 , 当点 $P$ 与点 $A$ 重合时, 则四边形 $A B C D$ 的形状是
(2) 过移探究
①如㚵 4 , 当点 $P$ 与点 $C$ 重合时, 连接 $D B$, 判断四迄形 $A B D C$ 的形状, 并说明理由:
② 当点 $P$ 与点 $A$, 点 $C$ 都不重合时, 试猜想 $D C$ 与 $B C$ 的位置关系, 并利用图 2 让明你的猜想;
(3) 拓展应用
当点 $P$ 与点 $A$, 点 $C$ 都不重合时, 若 $A B=4, A P=3$, 请直接写出 $C D$ 的长.

0 人点赞纠错

42 次查看我来讲解

答案：

解：(1） $\because$ 将线段 $B P$ 绕点 $P$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$, 点 $P$ 与点 $A$ 車合,
$$
\begin{aligned}
& \therefore A D=A B, \angle B A D=\angle A B C=90^{\circ}, \\
& \therefore A D / / B C, A D=A B=B C,
\end{aligned}
$$
$\therefore$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形,
$$
\because \angle A B C=90^{\circ}, A B=A C \text {, }
$$
$\therefore$ 四边形 $A B C D$ 是正方形;
故答案为：正方形;

(2) ①四边形 $A B D C$ 是平行四边形.

证明: 如图 1, 将线段 $B I$ 绕点 $P$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$, 点 $P$ 与 $C$ 重合，
$$
\begin{aligned}
& \therefore C B=C D, \angle B C D=90^{\circ}, \\
& \because \angle C B A=90^{\circ}, B A=B C, \\
& \therefore \angle B C D=\angle A B C, A B=C D, \\
& \therefore A B / / C D,
\end{aligned}
$$
$\therefore$ 四边形 $A B D C$ 是平行四边形;

②猜想: $D C \perp B C$.
证明: 如图 2, 过点 $P$ 作 $P E \perp A C$ 交 $A B$ 丁点 $E$, 连接 $E D$, 则 $\angle A P E=90^{\circ}$,
$$
\begin{aligned}
& \because \angle A B C=90^{\circ}, B A=B C, \\
& \therefore \angle B A C=\angle B C A=45^{\circ}, \\
& \therefore \angle B A C=\angle A E P=45^{\circ}, \\
& \therefore A P=E P,
\end{aligned}
$$

$\because$ 将线段 $B P$ 绕点 $P$ 逆时针旋转 $90^{\circ}$ 得到 $P D$,
$$
\begin{aligned}
& \therefore P D=P B, \\
& \because \angle A P E=\angle B P I=90^{\circ}, \\
& \therefore \angle A P E+\angle E P B=\angle B P D+\angle E P B, \\
& \therefore \angle A P B=\angle E P D,
\end{aligned}
$$
在 $\triangle A P B$ 和 $\triangle E P D$ 中,

$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
\mathrm{PA}=\mathrm{PE} \\
\angle \mathrm{APB}=\angle \mathrm{EPD}, \\
\mathrm{PB}=\mathrm{PD}
\end{array}\right. \\
& \therefore \triangle A P B \cong \triangle E P D(S A S), \\
& \therefore \angle \mathrm{PAE}=\angle \mathrm{PED}=45^{\circ}, A B=E D, \\
& \therefore \angle A E D=\angle A E P+\angle P E D=90^{\circ}, \\
& \therefore \angle A E D=\angle A B C=90^{\circ}, \\
& \therefore E I) / / B C, \\
& \because A B=B C, \\
& \therefore E D=B C,
\end{aligned}
$$

$\therefore$ 四边形 $E B C D$ 是平行四边形,
$$
\because \angle A B C=90^{\circ} \text {, }
$$
$\therefore$ 四边形 $E B C D$ 是矩形,
$$
\begin{aligned}
& \therefore \angle B C D=90^{\circ} \text {, } \\
& \therefore D C \perp B C \text {; } \\
& \text { (3) } C D=3 \sqrt{2} \pm 4 \text {. } \\
& \because \angle B A C=45^{\circ}, P E \perp A C \text {, } \\
& \therefore \triangle E P A \text { 是等腰直角三角形, } \\
& \therefore A E=\sqrt{2} A P \\
&
\end{aligned}
$$
设 $A C$ 是中点为 $M$, 如图 1, 当点 $P$ 在射线 $M C$ 上时,

H (2) 中② 可知, 四边形 $E B C D$ 是的形, $A B=A E-B E=A E-C D=\sqrt{2} A P-C D$,
$$
\begin{aligned}
& \therefore 4=3 \sqrt{2}-C D, \\
& \therefore C D=3 \sqrt{2}-4 .
\end{aligned}
$$
如图 2, 当点 $P$ 在射线 $M A$ 上时,

由 (2) 中 ②可知, 四边形 $E B C D$ 是矩形, $A B=B E-A E=C D-A E=C D-\sqrt{2} A P$,
$$
\begin{aligned}
& \therefore 4=(D)-3 \sqrt{2}, \\
& \therefore C D=3 \sqrt{2}+4 .
\end{aligned}
$$
综上所述, $C D=3 \sqrt{2} \pm 4$.

关闭页面下载Word格式