2023 年浙江省十校联盟高考数学第三次联考试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知随变量从二项分布 $B\left(1001, \frac{1}{2}\right)$, 则

$ \text{A.}$ $P(X=k)=C_{1001}^k\left(\frac{1}{2}\right)^{1001}$ $ \text{B.}$ $P(X \leqslant 301)=P(X \geqslant 701)$ $ \text{C.}$ $P(X>E(X))>\frac{1}{2}$ $ \text{D.}$ $P(X=k)$ 最大时 $k=500$ 或 501

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答案：

解析：

解: $P(X=k)=C_{1001}^k\left(\frac{1}{2}\right)^k\left(1-\frac{1}{2}\right)^{1001-k}=C_{1001}^k\left(\frac{1}{2}\right)^{1001}$, 故 $A$ 正确;
因为 $P(X \leqslant 301)=\sum_{k=0}^{301} P(X=k), P(X \geqslant 700)=\sum_{k=200}^{1001} P(X=k)$ 且 $C_{1001}^k=C_{1001}^{1001-k}$, 所以 $P(X \leqslant 301)=P(X \geqslant 700)$, 故 $B$ 错误;
因为 $E(X)=n p=1001 \times \frac{1}{2}=500.5$,
所以 $P(X>E(X))=P(X>500.5)=\sum_{k=501}^{1001} P(X=k)=\frac{1}{2}$, 故 $C$ 错误;
因为 $P(X=k)=C_{1001}^k\left(\frac{1}{2}\right)^{1001}$, 由组合数的性质得, $P(X=k)$ 最大时 $k=500$ 或 501 , 故 $D$ 正确. 故选: $A D$.

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