如图甲, 辘轳是古代民间提水设施, 由卷筒、支架、井绢、水斗等部分构 成。图乙为提水设施工作原理简化图, 某次需从井中汲取 $m=2 \mathrm{~kg}$ 的水, 高度为 $d=0.5 \mathrm{~m}$ 的薄壁水斗的质量为 $m_0=0.5 \mathrm{~kg}$, 井中水面与井口的高度差为 $H=10.5 \mathrm{~m}$ 。 $t=0$ 时刻, 厚度不计, 质量为 $M=0.5 \mathrm{~kg}$ 卷筒由静止开始绕中心轴转动, 装满水的水 斗到达井口前已做匀速运动, 人转动卷筒到最大功率 $P=900 \mathrm{~W}$, 不计辐条、井绳的 质量和转动轴处的摩擦, 重力加速度 $g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$, 求:
（1）若水斗先以加速度 $a=2 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^2$ 匀加速上升, 匀加速运动的最大速度 $v_1$ 的大小;
（2）空水斗从水斗口位于井口处由静止释放并带动卷筒自由转动, 求水斗落到水面时 的速度大小 $v$;
（3）水斗从图示位置缓慢上升高度 $H=10.5 \mathrm{~m}$, 忽略提水过程中水面高度的变化, 考 虑水斗在水中所受浮力, 求此过程中人做的功 $W$ 。