已知函数 $f(x)=\sin (\omega x+\varphi)$ 在区间 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}\right)$ 单调，其中 $\omega$ 为正整数， $|\varphi| < \frac{\pi}{2}$ ， 且 $f\left(\frac{\pi}{2}\right)=f\left(\frac{2 \pi}{3}\right)$.
(1) 求 $y=f(x)$ 图像的一条对称轴；
(2) 若 $f\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $\varphi$.