2023广东省梅州市蕉岭县新铺中学入学测试题九年级数学-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

如图 1, 在平面直角坐标系中, 抛物线 $y=a x^2+b x-3$ 与 $x$ 轴交于点 $A(6,0), B(-1$, 0 ), 与 $y$ 轴交于点 $C$, 连接 $B C$, 过点 $A 、 C$ 作直线 $A C$.
(1) 求抛物线的函数解析式.
(2) 点 $P$ 为直线 $A C$ 下方抛物线上一动点, 过点 $P$ 作 $P F \perp A C$ 交 $A C$ 于点 $F$, 过点 $P$ 作 $P E / / A C$ 交 $x$ 轴于点 $E$, 求 $A E+P F$ 的最大值及此时点 $P$ 的坐标.
(3) 在 (2) 问的条件下, 将抛物线 $y=a x^2+b x-3$ 沿射线 $C B$ 方向平移 $\sqrt{10}$ 个单位长度得到新抛物线 $y^{\prime}$, 新抛物线 $y^{\prime}$ 与原抛物线交于点 $M$; 连接 $C P$, 把线段 $C P$ 沿直线 $A C$ 平移, 记平移后的线段为 $C P^{\prime}$, 当以 $C 、 P^{\prime} 、 M$ 为顶点的三角形是等腰三角形时, 请直接写出所有符合条件的 $P^{\prime}$ 点的坐标.

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答案：

【解答】解: (1) $\because$ 抛物线 $y=a x^2+b x-3$ 与 $x$ 轴交于点 $A(6,0), B(-1,0)$,
$\therefore$ 抛物线的解析式为: $y=a(x+1)(x-6)=a x^2-5 a x-6 a$,
$$
\begin{aligned}
& \therefore-6 a=-3, \\
& \therefore a=\frac{1}{2},
\end{aligned}
$$
$\therefore$ 抛物线的解析式为: $y=\frac{1}{2} x^2-\frac{5}{2} x-3$;
(2) 令 $x=0$, 则 $y=-3$,
$$
\begin{aligned}
& \therefore C(0,-3), \\
& \therefore O C=3, \\
& \because A(6,0),
\end{aligned}
$$
$\therefore O A=6$, 直线 $A C$ 的解析式为: $y=\frac{1}{2} x-3$,
$$
\therefore A C=3 \sqrt{5}, \tan \angle O A C=\frac{1}{2}, \cos \angle O A C=\frac{2 \sqrt{5}}{5} \text {; }
$$
如图, 分别过点 $A, P$ 作 $y$ 轴的平行线, 分别交 $A C$ 于点 $Q$, 交 $P E$ 于点 $G$,
$\because P E / / A C$,
$\therefore$ 四边形 $P Q A G$ 是平行四边形,
$\therefore A G=P Q$

$$
\begin{aligned}
& \because P Q / / y \text { 轴, } \\
& \therefore \angle O C A=\angle P Q F, \\
& \therefore \angle O A C=\angle F P Q, \\
& \therefore \cos \angle O A C=\cos \angle F P Q=\frac{2 \sqrt{5}}{5} ; \\
& \therefore P F=\frac{2 \sqrt{5}}{5} P Q, \\
& \because P E / / A C, \\
& \therefore \angle A E G=\angle O A C, \\
& \therefore \tan \angle A E G=\tan \angle O A C=\frac{1}{2}, \\
& \therefore A E=2 A G=2 P Q, \\
& \therefore A E+P F=\frac{2 \sqrt{5}}{5} P Q+2 P Q ;
\end{aligned}
$$

设点 $P$ 的横坐标为 $t$, 则 $P\left(t, \frac{1}{2} t^2-\frac{5}{2} t-3\right), Q\left(t, \frac{1}{2} t-3\right)$,
$$
\therefore P Q=-\frac{1}{2} t^2+3 t=-\frac{1}{2}(t-3)^2+\frac{9}{2} \text {, }
$$
$\therefore$ 当 $t=3$ 时, $P Q$ 的最大值为 $\frac{9}{2}$;
$\therefore A E+P F$ 的最大值为: $\frac{9 \sqrt{5}}{5}+9$; 此时 $P(3,-6)$;
(3) 将拋物线 $y=\frac{1}{2} x^2-\frac{5}{2} x-3$ 沿射线 $C B$ 方向平移 $\sqrt{10}$ 个单位长度, 即先向左平移 1
个单位, 再向上平移 3 个单位,
$\because$ 拋物线的解析式为: $y=\frac{1}{2} x^2-\frac{5}{2} x-3=\frac{1}{2}\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{8}$;
$$
\begin{aligned}
& \therefore y^{\prime}=\frac{1}{2}\left(x-\frac{5}{2}+1\right)^2-\frac{25}{8}+3=\frac{1}{2}\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{1}{8} ; \\
& \text { 令 } \frac{1}{2}\left(x-\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{8}=\frac{1}{2}\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{1}{8}, \text { 解得 } x=-1, \\
& \therefore M(-1,0) ;
\end{aligned}
$$
将线段 $C P$ 沿直线 $A C$ 平移到线段 $C P^{\prime}$,
则设 $C^{\prime}(-2 m,-3-m)$, 则 $P^{\prime}(3-2 m,-6-m)$,
$$
\begin{aligned}
& \because M(-1,0), \\
& \therefore C^{\prime} P^{\prime}=3 \sqrt{2}, C^{\prime} M^2=(2 m-1)^2+(m+3)^2, C^{\prime} P=(2 m-4)^{2+}(6+m)^2,
\end{aligned}
$$
若以 $C 、 P^{\prime} 、 M$ 为顶点的三角形是等腰三角形, 则需要分以下三种情况:

(1)当 $C^{\prime} P^{\prime}=C^{\prime} M$ 时,
$$
18=(2 m-1)^2+(m+3)^2,
$$
整理得, $5 m^2+2 m-8=0$,
解得 $m=-\frac{1}{5}+\frac{\sqrt{41}}{5}$ 或 $m=-\frac{1}{5}-\frac{\sqrt{41}}{5}$,
$\therefore P^{\prime} \quad\left(\frac{17-2 \sqrt{41}}{5}, \frac{-29-\sqrt{41}}{5}\right)$ 或 $\left(\frac{17+2 \sqrt{41}}{5}, \frac{-29+\sqrt{41}}{5}\right)$;
(2)当 $C^{\prime} P^{\prime}=C^{\prime} P$ 时,
$$
18=(2 m-4)^2+(6+m)^2,
$$
整理得, $5 m^2-4 m+34=0$,
无解;
(3)当 $C^{\prime} M=C^{\prime} P$ 时,
$$
(2 m-1)^{2+}(m+3)^2=(2 m-4)^{2+}+(6+m)^2 \text {, }
$$
解得 $m=7$,
$$
\therefore P^{\prime} \quad(-11,-13) \text {; }
$$
综上, 符合题意的点 $P^{\prime}$ 的坐标为: $\left(\frac{17-2 \sqrt{41}}{5}, \frac{-29-\sqrt{41}}{5}\right)$ 或 $\left(\frac{17+2 \sqrt{41}}{5}, \frac{-29+\sqrt{41}}{5}\right)$ 或 $(-11,-13)$.

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