2022北师大初二八年级下册数学第一次月考试卷-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

如图, 四边形 $A B C D$ 中, $\angle B=90^{\circ}, A B / / C D, M$ 为 $B C$ 边上的一点, 且 $A M$ 平分 $\angle B A D, D M$ 平分 $\angle A D C$.
(1)求证: $A M \perp D M$;
(2) 若 $B C=8$, 求点 $M$ 到 $A D$ 的距离.

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答案：

解: (1) $\because A B / / C D$,
$$
\therefore \angle B A D+\angle A D C=180^{\circ} \text {, }
$$
$\because A M$ 平分 $\angle B A D, D M$ 平分 $\angle A D C$,
$$
\therefore 2 \angle M A D+2 \angle A D M=180^{\circ} \text {, }
$$
$$
\therefore \angle M A D+\angle A D M=90^{\circ} \text {, }
$$
$$
\therefore \angle A M D=90^{\circ} \text {, }
$$
即 $A M \perp D M$;

(2) 过 $M$ 作 $M N \perp A D$ 于点 $N$,
$$
\because A B / / C D, \angle B=90^{\circ},
$$
$\therefore \angle C=90^{\circ}$, 即 $B M \perp A B, M C \perp D C$,
又 $\because A M, D M$ 分别平分 $\angle B A D, \angle A D C, B C=8$,
$$
\therefore B M=M N, M N=M C,
$$
$$
\therefore M N=\frac{1}{2} B C=4 \text {, }
$$
$\therefore M$ 到 $A D$ 的距离为 4 .

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