2022年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设点 $P$ 在单位圆的内接正八边形 $A_1 A_2 \mathrm{~L} A_8$ 的边 $A_1 A_2$ 上, 则 $\overrightarrow{P A}_1^2+{\overrightarrow{P A_2}}^2+\cdots+\overrightarrow{P A}_8^2$ 的取值范围是

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答案：

$[12+2 \sqrt{2}, 16] \mid$

解析：

以圆心为原点，$A_7 A_3$ 所在直线为$x$轴， $A_5 A_1$所在直线为$y$轴建立平面直角坐标系，如图所示：

则
$$
A_1(0,1), A_2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right), A_3(1,0), A_4\left(\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right), A_5(0,-1), A_6\left(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{\sqrt{2}}{2}\right), A_7(-1,0),
$$
$A_8\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$, 设 $P(x, y)$, 于是 $\overrightarrow{P A}_1^2+\overrightarrow{P A}_2^2+\cdots+\overrightarrow{P A}_8^2=8\left(x^2+y^2\right)+8$,
因为 $\cos 22.5^{\circ} \leq|O P| \leq 1$, 所以 $\frac{1+\cos 45^{\circ}}{2} \leq x^2+y^2 \leq 1$, 故 $\overrightarrow{P A}_1^2+\overrightarrow{P A}_2^2+\cdots+\overrightarrow{P A}_8^2$ 的取值范围是 $[12+2 \sqrt{2}, 16]$.
故答案为: $[12+2 \sqrt{2}, 16]$.

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