2022年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^2+2, x \leq 1, \\ x+\frac{1}{x}-1, x > 1,\end{array}\right.$ 则 $f\left(f\left(\frac{1}{2}\right)\right)=$ ; 若当 $x \in[a, b]$ 时, $1 \leq f(x) \leq 3$, 则 $b-a$ 的最大值是

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答案：

(1). $\frac{37}{28}$
(2). $3+\sqrt{3} \# \# \sqrt{3}+3$

解析：

由已知 $f\left(\frac{1}{2}\right)=-\left(\frac{1}{2}\right)^2+2=\frac{7}{4}, f\left(\frac{7}{4}\right)=\frac{7}{4}+\frac{4}{7}-1=\frac{37}{28}$, 所以 $f\left[f\left(\frac{1}{2}\right)\right]=\frac{37}{28}$,
当 $x \leq 1$ 时, 由 $1 \leq f(x) \leq 3$ 可得 $1 \leq-x^2+2 \leq 3$, 所以 $-1 \leq x \leq 1$,
当 $x > 1$ 时, 由 $1 \leq f(x) \leq 3$ 可得 $1 \leq x+\frac{1}{x}-1 \leq 3$, 所以 $1 < x \leq 2+\sqrt{3}$, $1 \leq f(x) \leq 3$ 等价于 $-1 \leq x \leq 2+\sqrt{3}$, 所以 $[a, b] \subseteq[-1,2+\sqrt{3}]$, 所以 $b-a$ 的最大值为 $3+\sqrt{3}$.
故答案为: $\frac{37}{28}, 3+\sqrt{3}$.

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