如图 1, 已知四边形 $A B C D$ 是矩形, 点 $E$ 在 $B A$ 的延长线上, $A E=A D$. $E C$ 与 $B D$ 相交于点
$G$, 与 $A D$ 相交于点 $F, A F=A B$.
(1) 求证: $B D \perp E C$;
（2）若 $A B=1$, 求 $A E$ 的长;
(3) 如图 2, 连接 $A G$, 求证: $E G-D G=\sqrt{2} A G$.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$