2022年重庆中考数学试卷A卷真题及答案-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

若一个四位数 $M$ 的个位数字与十位数字的平方和恰好是 $M$ 去掉个位与十位数字后得到的两位数, 则这个四位数 $M$ 为“勾股和数”.
例如: $M=2543, \because 3^2+4^2=25, \therefore 2543$ 是“勾股和数”.
又如: $M=4325, \because 5^2+2^2=29,29 \neq 43, \therefore 4325$ 不是“勾股和数”
(1) 判断 2022, 5055 是否是“勾股和数”、并说明理由:
(2) 一个“勾股和数” $M$ 的千位数字为 $a$, 百位数字为 $b$,十位数字为 $c$, 个位数字为 $d$, 记 $G(M)=\frac{c+d}{9}, P$ $(M)=\frac{|10(a-c)+(b-d)|}{3}$. 当 $G(M), P(M)$ 均是整数时, 求出所有满足条件的 $M$.

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我来讲解

答案：

(1) $2^2+2^2=8,8 \neq 20, \therefore 1022$ 不是“勾股和数” , $5^2+5^2=50, \therefore 5055$ 是“勾股和数”;
(2) $\because M$ 为“勾股和数”, $\therefore 10 a+b=c^2+d^2, \therefore 0 < c^2+d^2 < 100$
$\because G(M)$ 为整数, $\therefore \frac{c+d}{9}$ 为整数, $\therefore c+d=9$,
$P(M)=\frac{|10 a+b-c-d|}{3}=\left|\frac{c^2+d^2-9}{3}\right|$ 为整数,$\therefore c^2+d^2=81-2 c d$ 为 3 的倍数
$\therefore$ (1) $c=0, d=9$ 或 $c=9, d=0$, 此时 $M=8109$ 或 $8190$
(2) $c=3, d=6$ 或 $c=6, d=3$, 此时 $M=4536$ 或 $4563$ .

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