2023年贵州省高考备考针对性联考（理科数学）-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知函数 $f(x)=|x+a|+\left|x-\frac{a}{2}\right|$.
(1) 当 $a=2$ 时, 求不等式 $f(x) \leqslant 5$ 的解集;
(2) 设 $a > 0, b > 0$ 且 $f(x)$ 的最小值为 $m$, 若 $m+\frac{3}{2} b=3$, 求 $\frac{3}{a}+\frac{2}{b}$ 的最小值.

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答案：

解: (1) 当 $a=2$ 时, $|x+2|+|x-1| \leqslant 5 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \leqslant 72, \\ -x-2-x+1 \leqslant 5\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}-2 < x \leqslant 1 \text {, } \\ 3 \leqslant 5\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}x > 1, \\ x+2+x-1 \leqslant 5\end{array} \Leftrightarrow-3 \leqslant x \leqslant-2\right.$ 或 $-2 < x \leqslant 1$ 或 $1 < x \leqslant 2$,
$$
\therefore\{x \mid-3 \leqslant x \leqslant 2\} \text {. }
$$
(2) $f(x)=|x+a|+\left|x-\frac{a}{2}\right| \geqslant\left|(x+a)-\left(x-\frac{a}{2}\right)\right|=\frac{3}{2} a$,
$$
\begin{aligned}
& \therefore m=\frac{3}{2} a, \\
& \therefore \frac{3}{2} a+\frac{3}{2} b=3, \therefore a+b=2, \therefore \frac{a}{2}+\frac{b}{2}=1, \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
& \therefore \frac{3}{a}+\frac{2}{b}=\left(\frac{3}{a}+\frac{2}{b}\right)\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\right)=\frac{5}{2}+\frac{3 b}{2 a}+\frac{a}{b} \geqslant \frac{5}{2}+2 \sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{5}{2}+\sqrt{6},
\end{aligned}
$$
当且仅当 $\frac{3 b}{2 a}=\frac{a}{b}$, 即 $b=\frac{\sqrt{6}}{3} a$ 时取等号,
$\therefore \frac{3}{a}+\frac{2}{b}$ 的最小值为 $\frac{5}{2}+\sqrt{6}$.

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