题号:4381    题型:解答题    来源:2023年贵州省 高考备考针对性联考(理科数学)
在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 曲线 $C$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}(\sin \theta-\cos \theta), \\ y=\sqrt{2}(\sin \theta+\cos \theta),\end{array}\right.$ 点 $O$ 为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho \cos \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(1) 求直线 $l$ 和曲线 $C$ 的直角坐标方程;
(2) 从原点 $O$ 引一条射线分别交曲线 $C$ 和直线 $l$ 于 $M, N$ 两点, 求 $\frac{12}{|O M|^2}+\frac{1}{|O N|^2}$ 的最 大值.
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答案:
解: (1) 曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{4}=1$,
直线 $l$ 的直角坐标方程为 $x-y=1$.

(2) 曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\frac{\rho^2 \cos ^2 \theta}{6}+\frac{\rho^2 \sin ^2 \theta}{4}=1$,
直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho \cos \theta-\rho \sin \theta=1$,
设 $M\left(\rho_1, \theta\right), N\left(\rho_2, \theta\right)$,
则: $\frac{\rho_1^2 \cos ^2 \theta}{6}+\frac{\rho_1^2 \sin ^2 \theta}{4}=1 \Rightarrow \rho_1^2=\frac{12}{2 \cos ^2 \theta+3 \sin ^2 \theta}$,
$\rho_2 \cos \theta-\rho_2 \sin \theta=1 \Rightarrow \rho_2=\frac{1}{\cos \theta-\sin \theta} \Rightarrow \rho_2^2=\frac{1}{1-\sin 2 \theta}$,
$\therefore \frac{12}{|O M|^2}+\frac{1}{|O N|^2}=2 \cos ^2 \theta+3 \sin ^2 \theta+1-\sin 2 \theta=3+\sin ^2 \theta-\sin 2 \theta$
$=3+\frac{1-\cos 2 \theta}{2}-\sin 2 \theta=\frac{7}{2}-\left(\sin 2 \theta+\frac{1}{2} \cos 2 \theta\right)=\frac{7}{2}-\frac{\sqrt{5}}{2} \sin (2 \theta+\varphi) \leqslant \frac{7}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}$
(当 $\sin (2 \theta+\varphi)=-1$ 时取等号),
$\therefore \frac{12}{|O M|^2}+\frac{1}{|O N|^2}$ 的最大值为 $\frac{7+\sqrt{5}}{2}$.
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