2023年贵州省高考备考针对性联考（理科数学）-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

以下关于 $f(x)=\sin x \cos x-\cos ^2 x+\frac{1}{2}$ 的命题, 正确的是

$ \text{A.}$ 函数 $f(x)$ 在区间 $\left(0, \frac{2 \pi}{3}\right)$ 上单调递增 $ \text{B.}$ 直线 $x=\frac{\pi}{8}$ 是函数 $y=f(x)$ 图象的一条对称轴 $ \text{C.}$ 点 $\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$ 是函数 $y=f(x)$ 图象的一个对称中心 $ \text{D.}$ 将函数 $y=f(x)$ 图象向左平移 $\frac{\pi}{8}$ 个单位, 可得到 $y=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2 x$ 的图象

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答案：

解析：

$f(x)=\frac{1}{2} \sin 2 x-\frac{1+\cos 2 x}{2}+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left(2 x-\frac{\pi}{4}\right)$, A 选项, $x \in\left(0, \frac{2 \pi}{3}\right) \Rightarrow 2 x-\frac{\pi}{4} \in\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{13 \pi}{12}\right)$
函数先增后减, 错误; B 选项, $x=\frac{\pi}{8} \Rightarrow 2 x-\frac{\pi}{4}=0$, 所以 $x=\frac{\pi}{8}$ 不是函数对称轴, 错误; C
选项, $x=\frac{\pi}{4} \Rightarrow 2 x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$, 所以 $\left(\frac{\pi}{4}, 0\right)$ 不是对称中心, 错误; D 选项, 图象向左平移 $\frac{\pi}{8}$ 个
单位得到 $y=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin \left[2\left(x+\frac{\pi}{8}\right)-\frac{\pi}{4}\right]=\frac{\sqrt{2}}{2} \sin 2 x$, 正确, 故选 D.

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