2023年武汉理工大学数学分析考研真题及参考解答-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

证明: $I(x)=\int_0^{+\infty} \frac{\sin (x y)}{y} d y$ 在 $(0,+\infty)$ 上内闭一致收敛.

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我来讲解

答案：

由于 $\int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x$ 收敛以及柯西收敛准则可知: $\forall \varepsilon > 0, \exists A > 0$, 使得 $\forall A_2 > A_1 > A,\left|\int_{A_1}^{A_2} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x\right| < \varepsilon$. 取 $X=\frac{A}{\delta}$ ，则 $\forall X_2 > X_1 > X, x X_2 > x X_1 \geq \delta X=A$ ，有

$$
\sup _{x \geq \delta}\left|\int_{X_1}^{X_2} \frac{\sin (x y)}{y} \mathrm{~d} y\right|=\sup _{x \geq \delta}\left|\int_{x X_1}^{x X_2} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x\right| \leq \varepsilon .
$$
由柯西收玫准则可知: $I(x)=\int_0^{+\infty} \frac{\sin (x y)}{y} \mathrm{~d} y$ 在 $[\delta,+\infty)$ 上
一致收敛，即证.

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