2023年武汉理工大学数学分析考研真题及参考解答-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上二阶可导，且
$$
\max _{0 \leq x \leq 2}\left\{|f(x)|,\left|f^{\prime \prime}(x)\right|\right\} \leq 1 ，
$$
证明: 对任意的 $x \in[0,2],\left|f^{\prime}(x)\right| \leq \mathbf{2}$.

0 人点赞

14 次查看

我来讲解

答案：

由题意可知 $|f(x)| \leq 1,\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$. 对任意的 $x \in[0,2]$, 由泰勒公式有:
$$
\left\{\begin{array}{l}
f(0)=f(x)-x f^{\prime}(x)+\frac{x^2}{2} f^{\prime \prime}\left(\xi_1\right) \\
f(2)=f(x)+(2-x) f^{\prime}(x)+\frac{(2-x)^2}{2} f^{\prime \prime}\left(\xi_2\right),
\end{array}\right.
$$
其中 $0 < \xi_1 < x, x < \xi_2 < 2$.
以上两个式子相减可知:

$$
f(2)-f(0)=2 f^{\prime}(x)+\frac{(2-x)^2}{2} f^{\prime \prime}\left(\xi_2\right)-\frac{x^2}{2} f^{\prime \prime}\left(\xi_1\right) .
$$
所以
$$
2 f^{\prime}(x)=f(2)-f(0)+\frac{x^2}{2} f^{\prime \prime}\left(\xi_1\right)-\frac{(2-x)^2}{2} f^{\prime \prime}\left(\xi_2\right),
$$
所以
$$
\begin{aligned}
& 2\left|f^{\prime}(x)\right|=\left|f(2)-f(0)+\frac{x^2}{2} f^{\prime \prime}\left(\xi_1\right)-\frac{(2-x)^2}{2} f^{\prime \prime}\left(\xi_2\right)\right| \\
& \leq|f(2)|+|f(0)|+\frac{x^2}{2}\left|f^{\prime \prime}\left(\xi_1\right)\right|+\frac{(2-x)^2}{2}\left|f^{\prime \prime}\left(\xi_2\right)\right| \\
& \leq 2+\frac{x^2}{2}+\frac{(2-x)^2}{2}=(x-1)^2+3 \leq 1+3=4
\end{aligned}
$$
即对任意的 $x \in[0,2],\left|f^{\prime}(x)\right| \leq 2$.

①点击首页查看更多试卷和试题 , 点击查看本题所在试卷
② 下载本题Word版或下载本题PDF版点击赞助本站

关闭