湘豫名校联考2022.12月理科数学试卷答案（老高考区）-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

已知 $f(x), g(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数, 且均不恒为零. $g(x)$ 为偶函数, $f(10)=-3$. 若对任意的 $x \in \mathbf{R}$, 都有 $f(x+4)+f(x)=\sqrt{2} f(x+2)$, 设 $h(x)=(x-2) \cdot g(x)$, 若函数 $h(x+2)$ 的图象关于 $y$ 轴对称, 则下列说法正确的是

$ \text{A.}$ 函数 $f(x)$ 的一个周期为 8 $ \text{B.}$ 函数 $g(x)$ 的图象关于直线 $x=6$ 对称 $ \text{C.}$ 函数 $g(x)$ 的一个周期为 4 $ \text{D.}$ $f(98)+g(98)=3$

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答案：

解析：

因为 $f(x+4)+f(x)=\sqrt{2} f(x+2)$. 所以 $f(x+4)=\sqrt{2} f(x+2)-f(x)$, 所以 $f(x+6)=$ $\sqrt{2} f(x+4)-f(x+2)=\sqrt{2}[\sqrt{2} f(x+2)-f(x)]-f(x+2)=f(x+2)-\sqrt{2} f(x)$. 所以 $f(x+8)=f(x+4)-$ $\sqrt{2} f(x+2)=\sqrt{2} f(x+2)-f(x)-\sqrt{2} f(x+2)=-f(x)$. 所以 $f(x+16)=-f(x+8)=f(x)$. 故函数 $f(x)$ 的一个周期为 16 , 所以 A 错误; 因为 $h(x)=(x-2) \cdot g(x)$, 所以 $h(x+2)=x \cdot g(x+2)$. 由函数 $h(x+2)$ 的图象关于 $y$ 轴对称, 知 $h(x+2)$ 为偶函数, 所以 $h(-x+2)=h(x+2)$, 即 $-x g(-x+2)=x g(x+2)$, 即 $-g(-x+2)=g(x+2)$, 将 $x$ 替换为 $x+2$, 得 $-g(-x)=g(x+4)$, 即 $g(x+4)=-g(-x)$. 又 $g(x)$ 是偶函数, 所以 $g(x+4)=-g(x)$, 则 $g(x+8)=-g(x+4)=g(x)$. 所以函数 $g(x)$ 的一个周期为 8 , 所以 C 错误; 因为函数 $g(x)$ 为偶函数, 且周期为 8 , 所以 $g(x)$ 的图象关于直线 $x=8$ 对称. 若函数 $g(x)$ 的图象关于直线 $x=6$ 对称, 则 $g(x)=g(12-x)=g(4-x)=g(x-4)=g(x+4)=-g(x)$. 所以 $g(x)=0$, 与函数 $g(x)$ 不恒为零矛盾, 所以 B错误; 因为 $f(10)=-3$, - $f(x+8)=f(x)$, 所以 $f(2)=-f(10)=3$. 又由 $g(x+4)=$ $-g(-x)$, 今 $x=-2$, 得 $g(2)=0$, 所以 $f(98)+g(98)=f(6 \times 16+2)+g(8 \times 12+2)=f(2)+g(2)=3$. 故选 D.

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