2022年北京市海淀区八年级上学期期末试题-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

在平面直角坐标系 $x O y$ 中, 点 $P, Q$ 分别在线段 $O A, O B$ 上, 如果存在点 $M$ 使得 $M P=M Q$ 且 $\angle M P Q=\angle A O B$ (点 $M, P, Q$ 逆时针排列), 则称点 $M$ 是线段 $P Q$ 的 “关联点” . 如图 1, 点 $M$ 是线段 $P Q$ 的 “关联点”。
(1) 如图 2, 已知点 $A(4,4), B(8,0)$, 点 $P$ 与点 $A$ 重合.
① 当点 $Q$ 是线段 $O B$ 中点时, 在 $M_1(4,2), M_2(6,2)$ 中, 其中是线段 $P Q$ 的 “关联点” 的是
② 已知点 $M(8,4)$ 是线段 $P Q$ 的 “关联点”, 则点 $Q$ 的坐标是

(2) 如图 3, 已知 $O A=O B=4, \angle A O B=60^{\circ}$.
①当点 $P$ 与点 $A$ 重合, 点 $Q$ 在线段 $O B$ 上运动时 (点 $Q$ 不与点 $O$ 重合), 若点 $M$ 是线段 $P Q$ 的 “关联点”, 求证: $B M / / O A$;
②当点 $P, Q$ 分別在线段 $O A, O B$ 上运动时, 直接写出线段 $P Q$ 的 “关联点” $M$ 形成的区域的周长.

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