如果对于任意的 $x \in \mathbf{R}$, 随机变量 $X$ 满足 $P\{X \geqslant x\}=P\{X \leqslant-x\}$, 就 称 $X$ 为对称的. (1) 如果连续型随机变量 $X$ 和 $Y$ 独立同分布, 证明 $Y-X$ 是对称的; (2) 如 果随机变量 $(X, Y)$ 的密度函数为 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\left(|x|-\frac{1}{2}\right) y,|x| < 1,|y| < 1, \\ 0, \\ \text { 其他, }\end{array}\right.$ 问 $X$ 和 $Y$ 是否相互独立? $X$ 和 $Y$ 是否同分布? 又问 $Y-X$ 是否是对称的? 给出你的理由.
【答案】 【解】(1) 设 $X$ 的密度函数为 $f_X(x)$, 则 $Y$ 的密度函数为 $f_X(y)$, 由于 $X$ 和 $Y$ 相互独立, 因此 $(X, Y)$ 的密度函数为 $f_X(x) f_X(y)$, 利用二重积分的轮换对称性, 得
$$
\begin{aligned}
P\{Y-X \geqslant x\} & =\iint_{v-u \geqslant x} f_X(u) f_X(v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v=\iint_{u \geqslant v \geqslant x} f_X(v) f_X(u) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v \\
& =\iint_{v-u \leqslant-x} f_X(u) f_X(v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v=P\{Y-X \leqslant-x\},
\end{aligned}
$$
所以 $Y-X$ 是对称的.

(2) 由于 $\int_{-1}^{1} y \mathrm{~d} y=0, \int_{-1}\left(|x|-\frac{1}{2}\right) \mathrm{d} x=0$, 得 $X$ 和 $Y$ 的边缘密度函数分别为
$$
\begin{aligned}
& f_X(x)=\left\{\begin{array}{lc}
\int_{-1}^1\left[\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\left(|x|-\frac{1}{2}\right) y\right] \mathrm{d} y=\frac{1}{2}, & |x| < 1, \\
0, & \text { 其他, }
\end{array}\right. \\
& f_Y(y)=\left\{\begin{array}{lc}
\int_{-1}^1\left[\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\left(|x|-\frac{1}{2}\right) y\right] \mathrm{d} x=\frac{1}{2},|y| < 1, \\
0, & \text { 其他, }
\end{array}\right. \\
&
\end{aligned}
$$
所以 $X$ 和 $Y$ 同分布, 但是 $f(x, y) \neq f_X(x) f_Y(y)$, 故 $X$ 和 $Y$ 不相互独立.
考虑到$$
\begin{aligned}
P\{Y-X \geqslant 0\} & =\iint_{y \geqslant x} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\int_{-1}^1 \mathrm{~d} x \int_x^1\left[\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\left(|x|-\frac{1}{2}\right) y\right] \mathrm{d} y \\
& =\frac{1}{2}-\frac{1}{8} \int_{-1}^1\left(|x|-\frac{1}{2}\right)\left(1-x^2\right) \mathrm{d} x \\
& =\frac{1}{2}-\frac{1}{4} \int_0^1\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(1-x^2\right) \mathrm{d} x \\
& =\frac{1}{2}-\frac{1}{4} \cdot\left(-\frac{1}{12}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{48} > \frac{1}{2},
\end{aligned}
$$
所以 $P\{Y-X \leqslant 0\} < \frac{1}{2}$, 因此 $P\{Y-X \geqslant 0\} \neq P\{Y-X \leqslant 0\}$, 所以 $Y-X$ 不是对称的.


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