若正项级数 $\sum_{n=1} a_n$ 收敛, 则下列级数
(1) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n a_n$,
(2) $\sum_{n=1}\left(a_n-2 a_{n+1}\right)$,
(3) $\sum_{n=1} \sqrt{a_n}$,
(4) $\sum_{n=1}^{\infty} \sqrt{a_n a_{n-1}}$ 中一定收敛的个数为
$ \text{A.} $ 1 $ \text{B.} $ 2 $ \text{C.} $ 3 $ \text{D.} $ 4
【答案】 C

【解析】 级数(1) 绝对收敛; 由 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收玫得 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n+1}$ 收敛, 故 (2) 收玫; 级数 (3) 不一定收敛, 反例 $a_n=\frac{1}{n^2} ; \sqrt{a_n a_{n+1}} \leqslant \frac{a_n+a_{n+1}}{2}$, 故 (4) 收敛.
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