题号:4110    题型:解答题    来源:2022年青海省中考数学真题 入库日期 2023/1/18 12:16:03
27. 如图1,抛物线 $y=x^2+b x+c$ 与 $x$ 轴交于 $A(-1,0) , B(3,0)$ 两点,与 $y$ 轴交于点 $C$.
(1)求该抛物线的解析式;
(2) 若点 $E$ 是抛物线的对称轴与直线 $B C$ 的交点,点 $F$ 是抛物线的顶点,求 $E F$ 的长;
(3)设点 $P$ 是 (1) 中抛物线上的一个动点,是否存在满足 $S_{\triangle P A B}=6$ 的点 $P$ ? 如果存在,请求出点 $P$ 的坐标;若不存在,请说明理由. (请在图2中探 讨)
【答案】 (1)
解: :抛物线 $y=x^2+b x+c$ 与 $x$ 轴的两个交点分别为 $A(-1,0) , B(3,0)$ , $\therefore\left\{\begin{array}{l}1-b+c=0 \\ 9+3 b+c=0\end{array}\right.$ ,解得 $\left\{\begin{array}{l}b=-2 \\ c=-3\end{array}\right.$.
$\therefore$ 所求抛物线的解析式为 $y=x^2-2 x-3$.
( $(2)$
解: 由 (1) 知,抛物线的解析式为 $y=x^2-2 x-3$ ,则 $C(0,-3)$ ,
$$
\begin{aligned}
& \text { 又 } y=x^2-2 x-3=(x-1)^2-4 , \\
& \therefore F(1,-4) .
\end{aligned}
$$
设直线 $B C$ 的解析式为 $y=k x-3(k \neq 0)$ ,
把 $B(3,0)$ 代入,得 $0=3 k-3$ ,
解得 $k=1$ ,则该直线的解析式为 $y=x-3$.
故当 $x=1$ 时, $y=-2$ ,即 $E(1,-2)$ ,
$$
\therefore E F=|-4|-|-2|=2 \text { , }
$$
即 $E F=2$.

解: 设点 $P(x, y)$ ,由题意,得 $S_{\triangle P A B}=\frac{1}{2} \times 4|y|=6$ ,
$$
\therefore|y|=3 , \therefore y=\pm 3 \text {, }
$$
当 $y=-3$ 时, $x^2-2 x-3=-3$ ,
$$
\therefore x_1=0, x_2=2 \text { , }
$$
当 $y=3$ 时, $x^2-2 x-3=3$ ,
$$
\therefore x_3=1-\sqrt{7}, x_4=1+\sqrt{7} \text {, }
$$
$\therefore$ 当点 $P$ 的坐标分别为 $P_1(0,-3) , P_2(2,-3) , P_3(1-\sqrt{7}, 3) , P_4(1+\sqrt{7}, 3)$ 时, $S_{\triangle P A B}=6$.


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