题号:4109    题型:解答题    来源:2022年青海省中考数学真题 入库日期 2023/1/18 12:14:23
两个顶角相等的等腰三角形,如果具有公共的顶角的顶点,并把它们的底角顶点连接起来,则形成一组全等的三角形,把具有这个规律的图 形称为“手拉手”图形.
(1)问题发现:
如图1,若 $\triangle A B C$ 和 $\triangle A D E$ 是顶角相等的等腰三角形, $B C , D E$ 分别是底边.求证: $B D=C E$ ;


(2)解决问题: 如图2,若 $\triangle A C B$ 和 $\triangle D C E$ 均为等腰直角三角形, $\angle A C B=\angle D C E=90^{\circ}$ ,点 $A , D , E$ 在同一条直线上,CM为 $\triangle D C E$ 中 $D E$ 边上的高,连接 $B E$ ,请判断 $\angle A E B$ 的度数及线段 $C M , A E , B E$ 之间的数量关系并说明理由.


【答案】 (1)证明: $\because \triangle A B C$ 和 $\triangle A D E$ 是顶角相等的等腰三角形,
$$
\begin{aligned}
& \therefore A B=A C, A D=A E, \angle B A C=\angle D A E , \\
& \therefore \angle B A C-\angle C A D=\angle D A E-\angle C A D , \\
& \therefore \angle B A D=\angle C A E .
\end{aligned}
$$
在 $\triangle B A D$ 和 $\triangle C A E$ 中,
$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
A B=A C \\
\angle B A D=\angle C A E \\
A D=A E
\end{array}\right. \\
& \therefore \triangle B A D \cong \triangle C A E(S A S) \\
& \therefore B D=C E
\end{aligned}
$$

(2) 解: $\angle A E B=90^{\circ} , A E=B E+2 C M$,
理由如下: 由 (1) 的方法得, $\triangle A C D \cong \triangle B C E$ ,
$$
\begin{aligned}
& \therefore A D=B E , \angle A D C=\angle B E C, \\
& \because \triangle C D E \text { 是等䁏直角三角形, } \\
& \therefore \angle C D E=\angle C E D=45^{\circ}, \\
& \therefore \angle A D C=180^{\circ}-\angle C D E=135^{\circ}, \\
& \therefore \angle B E C=\angle A D C=135^{\circ}, \\
& \therefore \angle A E B=\angle B E C-\angle C E D=135^{\circ}-45^{\circ}=90^{\circ} . \\
& \because C D=C E , C M \perp D E , \\
& \therefore D M=M E . \\
& \because \angle D C E=90^{\circ} , \\
& \therefore D M=M E=C M , \\
& \therefore D E=2 C M . \\
& \therefore A E=A D+D E=B E+2 C M .
\end{aligned}
$$


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