已知抛物线 $y=-x^2-\sqrt{3} x+c$ 经过点 $(0,2)$, 且与 $x$ 轴交于 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B}$ 两点. 设 $\mathrm{k}$ 是抛物线 $y=-x^2-\sqrt{3} x+c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标; $\mathrm{M}$ 是抛物线 $y=-x^2-\sqrt{3} x+c$ 的 点, 常数 $m > 0, S$ 为 $\triangle A B M$ 的面积. 已知使 $S=m$ 成立的点 $M$ 恰好有三个, 设 $T$ 为这三个点的纵坐标的和。
(1) 求 $\mathrm{c}$ 的值;
(2) 且接写出 $\mathrm{T}$ 的值;
(3) 求 $\frac{k^4}{k^8+k^6+2 k^4+4 k^2+16}$ 的值.
【答案】 (1) $\because$ 扐物线 $y=-x^2-\sqrt{3} x+c$ 过点 $(0,2)$,
$\therefore$ 当 $x=0$ 时, $y=c=2$, 故 $c=2$;
(2)由 (1) 知抛物线解析式为 $y=-x^2-\sqrt{3} x+2$.
$\because$ 当 $S=m$ 时恰好有三个点 $\mathrm{M}$ 满足,
$\therefore$ 必有一点 $M$ 为拋物线的顶点, 且 $M$ 纵坐标互为相反数.
当 $x=-\frac{-\sqrt{3}}{2 \times(-1)}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 时, $y=-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-\sqrt{3} \times\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+2=\frac{11}{4}$.
即此时 $M\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{11}{4}\right)$, 则另外两个 $\mathrm{M}$ 点的纵坐标分别为 $-\frac{11}{4},-\frac{11}{4}$.
$$
\therefore T=\frac{11}{4}+\left(-\frac{11}{4}\right)+\left(-\frac{11}{4}\right)=-\frac{11}{4}
$$

(3) 由题意知, $-k^2-\sqrt{3} k+2=0$, 则 $k-\frac{2}{k}=-\sqrt{3}$.
$$
\therefore k^2+\frac{4}{k^2}=\left(k-\frac{2}{k}\right)^2+4=7, k^4+\frac{16}{k^4}=\left(k^2+\frac{4}{k^2}\right)^2-8=41 \text {. }
$$
则 $\frac{k^4}{k^8+k^6+2 k^4+4 k^2+16}=\frac{1}{k^4+k^2+2+\frac{4}{k^2}+\frac{16}{k^4}}=\frac{1}{\left(k^4+\frac{16}{k^4}\right)+\left(k^2+\frac{4}{k^2}\right)+2}$
$$
=\frac{1}{41+7+2}=\frac{1}{50}
$$


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