如图; 在平行四边形 $A B C D$ 中, 连接 $B D, E$ 为线段 $A D$ 的中点, 延长 $B E$ 与 $C D$ 的延长线交于点 $\mathrm{F}$, 连接 $\mathrm{AF}, \angle \mathrm{BDF}=90^{\circ}$
(1) 求证:四边形 $A B D F$ 是矩形;
(2) 若 $A D=5, D F=3$, 求四边形 $A B C F$ 的面积 $S$.
【答案】 (1) $\because$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形
$$
\begin{aligned}
& \therefore A B / / C D \\
& \therefore A B / / D F \\
& \therefore \angle D F E=\angle A B E \\
& \because E \text { 为线段 } A D \text { 的中点 } \\
& \therefore D E=A E
\end{aligned}
$$
在 $\triangle D F E$ 和 $\triangle A B E$ 中
$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array}{l}
\angle D F E=\angle A B E \\
\angle D E F=\angle A E B \\
D E=A E
\end{array}\right. \\
& \therefore \triangle D F E \cong \triangle A B E(A A S) \\
& \therefore D F=A B \\
& \text { 又 } \because A B / / D F
\end{aligned}
$$
$\therefore$ 四边形 $A B D F$ 是平行四边形
$\because \angle B D F=90^{\circ}$
$\therefore$ 平行四边形 $A B D F$ 是矩形


(2) $\because$ 四边形 $A B D F$ 是矩形
$$
\begin{aligned}
& \therefore \angle A B D=90^{\circ}, A F=B D, A B=D F \\
& \because A D=5, D F=3
\end{aligned}
$$
$\therefore$ 在Rt $\triangle A B D$ 中, $A F=\sqrt{A D^2-D F^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$
$$
\begin{aligned}
& \therefore A F=B D=4, A B=D F=3 \\
& \because \text { 四边形 } A B C D \text { 是平行四边形 } \\
& \therefore C D=A B=3 \\
& \because \angle B D F=90^{\circ} \\
& \therefore \therefore B D C=90^{\circ} \\
& \therefore S=S_{\text {姱 }} \text { ABCD }+S_{\triangle B C D} \\
&=D F \cdot B D+\frac{1}{2} C D \cdot B D \\
&=3 \times 4+\frac{1}{2} \times 3 \times 4 \\
&=12+6 \\
&=18
\end{aligned}
$$


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