(1) 求证：四边形 $A B D F$ 是矩形;
(2) 若 $A D=5, D F=3$, 求四边形 $A B C F$ 的面积 $S$.
【答案】 (1) $\because$ 四边形 $A B C D$ 是平行四边形
\begin{aligned} & \therefore A B / / C D \\ & \therefore A B / / D F \\ & \therefore \angle D F E=\angle A B E \\ & \because E \text { 为线段 } A D \text { 的中点 } \\ & \therefore D E=A E \end{aligned}

\begin{aligned} & \left\{\begin{array}{l} \angle D F E=\angle A B E \\ \angle D E F=\angle A E B \\ D E=A E \end{array}\right. \\ & \therefore \triangle D F E \cong \triangle A B E(A A S) \\ & \therefore D F=A B \\ & \text { 又 } \because A B / / D F \end{aligned}
$\therefore$ 四边形 $A B D F$ 是平行四边形
$\because \angle B D F=90^{\circ}$
$\therefore$ 平行四边形 $A B D F$ 是矩形

(2) $\because$ 四边形 $A B D F$ 是矩形
\begin{aligned} & \therefore \angle A B D=90^{\circ}, A F=B D, A B=D F \\ & \because A D=5, D F=3 \end{aligned}
$\therefore$ 在Rt $\triangle A B D$ 中, $A F=\sqrt{A D^2-D F^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$
\begin{aligned} & \therefore A F=B D=4, A B=D F=3 \\ & \because \text { 四边形 } A B C D \text { 是平行四边形 } \\ & \therefore C D=A B=3 \\ & \because \angle B D F=90^{\circ} \\ & \therefore \therefore B D C=90^{\circ} \\ & \therefore S=S_{\text {姱 }} \text { ABCD }+S_{\triangle B C D} \\ &=D F \cdot B D+\frac{1}{2} C D \cdot B D \\ &=3 \times 4+\frac{1}{2} \times 3 \times 4 \\ &=12+6 \\ &=18 \end{aligned}