设函数 $f(x)=a x^3-(a+1) x^2+x, g(x)=k x+m$, 其中 $a \geq 0, k 、 m \in \mathbf{R}$, 若对任意 $x \in[0,1]$ 均有 $f(x) \leq g(x)$, 则称函数 $y=g(x)$ 是函数 $y=f(x)$ 的 “控制函数” , 且对所有 的函数 $y=g(x)$ 取最小值定义为 $\bar{f}(x)$.
(1) 若 $a=2, g(x)=x$, 试问 $y=g(x)$ 是否为函数 $y=f(x)$ 的 “控制函数”;
(2) 若 $a=0$, 使得直线 $y=h(x)$ 是曲线 $y=f(x)$ 在 $x=\frac{1}{4}$ 处的切线.
证明: 函数 $y=h(x)$ 为函数 $y=f(x)$ 的 “控制函数” , 并求 $\bar{f}\left(\frac{1}{4}\right)$ 的值;
(3) 若曲线 $y=f(x)$ 在 $x=x_0, x_0 \in(0,1)$ 处的切线过点 $(1,0)$, 且 $c \in[0,1]$.
证明:当且仅当 $c=x_0$ 或 $c=1$ 时, $\bar{f}(c)=f(c)$.
【答案】 (1) $f(x)=2 x^3-3 x^2+x$, 设 $h(x)=f(x)-g(x)=2 x^3-3 x^2$,
$h^{\prime}(x)=6 x^2-6 x=6 x(x-1)$, 当 $x \in[0,1]$ 时, 易知 $h^{\prime}(x)=6 x(x-1) \leq 0$, 即 $h(x)$ 单调减,
$\therefore h(x)_{\text {max }}=h(0)=0$, 即 $f(x)-g(x) \leq 0 \Rightarrow f(x) \leq g(x), \therefore g(x)$ 是 $f(x)$ 的 “控制函数”
(2) $f(x)=-x^2+x, f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{16}, f^{\prime}(x)=-2 x+1, f^{\prime}\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}$,
$\therefore h(x)=\frac{1}{2}\left(x-\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{16}=\frac{1}{2} x+\frac{1}{16}, f(x)-h(x)=-x^2+\frac{1}{2} x-\frac{1}{16}=-\left(x-\frac{1}{4}\right)^2 \leq 0$,
$\therefore f(x) \leq h(x)$, 即 $y=h(x)$ 为函数 $y=f(x)$ 的 “控制函数”,
又 $f\left(\frac{1}{4}\right)=h\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{16}$, 且 $g\left(\frac{1}{4}\right) \geq f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{16}, \therefore \bar{f}\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{16}$ ;
(3) 略


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