为了节能环保, 节约材料、定义建筑物的 “体形系数” 为 $S=\frac{F_0}{V_0}$, 其中 $F_0$ 为建筑物暴 露在空气中的面积 (单位: 平方米), $V_0$ 为建筑物的体积 (单位: 立方米)
(1) 若有一圆柱形建筑物的底面半径为 $R$, 高度为 $H$, 求该建筑物的 “体形系数”;
(结果用含 $R 、 H$ 的代数式表示)
(2) 定义建筑物的 “形状因子” 为 $f=\frac{L^2}{A}$, 其中 $A$ 为底面面积, $L$ 为建筑底面周长,
又定义 $T$ 为总建筑面积, 即为每层建筑面积总和(每层建筑面积为每一层的底面面积). 现有一垂直于底面的宿舍, 已知该宿舍的层高为 3 米, 有 $n$ 层, 其 “形状因子” $f=18$, 总建筑面积为 $T=10000$ 平方米, 试求当该宿舍的层数 $n$ 为多少时, “体形系数” $S$ 最小.
【答案】 (1) $S=\frac{F_0}{V_0}=\frac{\pi R^2+2 \pi R \cdot H}{\pi R^2 \cdot H}=\frac{R+2 H}{R H}$;
(2) 由题意, 宿舍高 $3 n$ 米, 底面面积 $A=\frac{T}{n}, \therefore$ 体积 $V_0=3 n \cdot A=3 T$, 由 $f=\frac{L^2}{A}=18, \therefore$ 底面周长 $L=\sqrt{\frac{18 T}{n}}, \therefore F_0=L \cdot 3 n+A=\sqrt{\frac{18 T}{n}} \cdot 3 n+\frac{T}{n}$, $\therefore$ “体形系数” $S=\frac{F_0}{V_0}=\sqrt{\frac{18 n}{T}}+\frac{1}{3 n}=\sqrt{\frac{18 n}{10000}}+\frac{1}{3 n}=\frac{3 \sqrt{2 n}}{100}+\frac{1}{3 n}, n \in \mathbf{N}^*$, 由计算器 TABLE 功能, 可知 $n=6$ 时, “体形系数” $S$ 最小


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