设 $\overrightarrow{O A} 、 \overrightarrow{O B} 、 \overrightarrow{O C}$ 为空间中三组单位向量, 且 $\overrightarrow{O A} \perp \overrightarrow{O B}, \overrightarrow{O A} \perp \overrightarrow{O C}, \overrightarrow{O B}$ 与 $\overrightarrow{O C}$ 夹角 为 $60^{\circ}, P$ 为空间任意一点, 且 $|\overrightarrow{O P}|=1$, 满足 $|\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O C}| \leq|\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O B}| \leq|\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O A}|$, 则 $|\overrightarrow{O P} \cdot \overrightarrow{O C}|$ 最大值为
【答案】 $\frac{\sqrt{21}}{7}$,

【解析】 设 $\overrightarrow{O A}=(0,0,1), \overrightarrow{O B}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, 0\right), \overrightarrow{O C}=(0,1,0), \overrightarrow{O P}=(x, y, z)$, 不妨设 $x 、 y 、 z > 0, \therefore x^2+y^2+z^2=1, \quad y \leq \frac{\sqrt{3}}{2} x+\frac{1}{2} y \leq z , \therefore x \geq \frac{\sqrt{3}}{3} y, z \geq y$,
$$
x^2+y^2+z^2=1 \geq \frac{y^2}{3}+y^2+y^2 \Rightarrow y^2 \leq \frac{3}{7}, \therefore y \leq \frac{\sqrt{21}}{7}
$$
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