某研究电磁辅助制动的简化模拟电路如图所示，足够长的＂凸＂形光滑平行导轨 $M P 、 N Q$ 固定在水平面上，宽轨间距为 $2 l$ ，窄轨间距为 $l, O O^{\prime}$ 左侧为金属导轨，右侧为绝缘轨道．一质量为 $m$ 、总阻值为 $r$ 、三边长度均为 $l$ 的＂U＂形金属框，左端紧靠 $O O^{\prime}$ 平放在绝缘轨道上 （与金属导轨不接触）．$C C^{\prime}$ 左侧整个区间存在磁感应强度大小为 $0.5 B_0$ 、方向坚直向上的匀强磁场，$C C^{\prime}$ 与 $O O^{\prime}$ 间整个区间存在磁感应强度大小为 $B_0$ 、方向坚直向上的匀强磁场，$O O^{\prime}$ 右侧以 $O$为原点，沿 $O P$ 方向建立 $x$ 轴，沿 $O x$ 方向存在分布规律为 $B=B_0+k x(k>0)$ 的坚直向上的磁场。两匀质金属棒 $a 、 b$ 垂直于轨道放置在宽轨段，质量均为 $m$ 、长度均为 $2 l$ 、阻值均为 $2 r$ 。初始时，将 $b$ 锁定，$a$ 在水平向右、大小为 $F$ 的恒力作用下，从静止开始运动，离开宽轨前已匀速，$a$滑上窄轨瞬间，撤去力 $F$ ，同时释放 $b$ 。当 $a$ 运动至 $O O^{\prime}$ 时，$a$ 棒中已无电流，$b$ 还在宽轨区，此时撤去 $b$ 。金属导轨电阻不计，$a$ 棒、 $b$ 棒、金属框与轨道始终接触良好．


（1）求 $a$ 棒在宽轨上匀速运动时的速度大小 $v_0$ ，及 $a$ 运动至 $O O^{\prime}$ 时速度大小 $v_1$ ；
（2）求 $a$ 棒刚滑上窄轨时 $a$ 棒两端电势差大小，及从撤去外力 $F$ 到金属棒 $a$ 运动至 $O O^{\prime}$ 的过程中，$a$ 棒产生的焦耳热；
（3）若 $a$ 棒与金属框碰撞后连接在一起构成正方形回路，求 $a$ 棒静止时与 $O O^{\prime}$ 的距离．