在直角坐标系 $x O y$ 中, 圆心为 $A$ 的圆 $C_1$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x=2+\cos t, \\ y=\sin t\end{array}\right.$ ( $t$ 为参数). 以坐 标原点 $O$ 为极点, $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 $C_2$ 的极坐标方程为 $\rho=2-2 \cos \theta$.
( I) 求圆 $C_1$ 的极坐标方程;
(II) 设点 $B$ 在曲线 $C_2$ 上, 且满足 $|A B|=\sqrt{3}$, 求点 $B$ 的极径.
【答案】 解: ( I) 由圆 $C_1$ 的参数方程消去参数 $t$, 得圆 $C_1$ 的普通方程为 $(x-2)^2+y^2=1$, 圆心 $A(2,0)$.
把 $x=\rho \cos \theta, y=\rho \sin \theta$ 代人 $(x-2)^2+y^2=1$,
化简得圆 $C_1$ 的极坐标方程为 $\rho^2-4 \rho \cos \theta+3=0$.
(II) 由题意, 在极坐标系中, 点 $A(2,0)$.
$\because$ 点 $B$ 在曲线 $C_2$ 上, 设 $B(2-2 \cos \theta, \theta)$.
在 $\triangle A O B$ 中, 由余弦定理有 $A B^2=O A^2+O B^2-2 O A \cdot O B \cdot \cos \angle A O B$, 即 $3=4+(2-2 \cos \theta)^2-2 \times 2(2-2 \cos \theta) \cos \theta$.
化简得 $12 \cos ^2 \theta-16 \cos \theta+5=0$.
解得 $\cos \theta=\frac{1}{2}$ 或 $\cos \theta=\frac{5}{6}$.
故 $\rho=2-2 \cos \theta=1$ 或 $\rho=2-2 \cos \theta=\frac{1}{3}$.
$\therefore$ 点 $B$ 的极径为 1 或 $\frac{1}{3}$.


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