已知椭圆 $C: \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a > b > 0)$ 的左, 右焦点分别为 $F_1, F_2$, 上顶点为 $D$, 且 $\triangle D F_1 F_2$ 为等边三角形. 经过焦点 $F_2$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点, $\triangle F_1 A B$ 的周长为 8 .
(I) 求椭圆 $C$ 的方程;
(II) 求 $\triangle F_1 A B$ 的面积的最大值及此时直线 $l$ 的方程.
【答案】 解: ( I ) 由 $\triangle D F_1 F_2$ 为等边三角形, $\left|D F_1\right|=\left|D F_2\right|=a$, 得 $a=2 c$ ( $c$ 为半焦距). $\cdots \cdots 1$ 分 $\because\left|A F_1\right|+\left|A F_2\right|=2 a,\left|B F_1\right|+\left|B F_2\right|=2 a$,
$\therefore \triangle F_1 A B$ 的周长为 $4 a=8$, 得 $a=2$. $\cdots \cdots 2$ 分 $\therefore c=1, b=\sqrt{a^2-c^2}=\sqrt{3}$.
$\therefore$ 椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$.
数学(文科)“一诊”参考答案 第 2 页(共 4 页)
(II) 由 (I) 知 $F_2(1,0)$, 且直线 $l$ 斜率不为 0 .
设直线 $l: x=m y+1, A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$.
由 $\left\{\begin{array}{l}x=m y+1, \\ \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\end{array}\right.$ 消去 $x$, 得 $\left(3 m^2+4\right) y^2+6 m y-9=0$.
显然 $\Delta=144\left(m^2+1\right) > 0$.
$\therefore y_1+y_2=\frac{-6 m}{3 m^2+4}, y_1 y_2=\frac{-9}{3 m^2+4}$.
$\cdots \cdots 6$ 分
由 $\triangle F_1 A B$ 面积 $S=\frac{1}{2} \cdot\left|F_1 F_2\right| \cdot\left|y_1-y_2\right|=\left|y_1-y_2\right|$.

而 $\left|y_1-y_2\right|=\sqrt{\left(y_1+y_2\right)^2-4 y_1 y_2}=\sqrt{\left(\frac{-6 m}{3 m^2+4}\right)^2-4 \cdot \frac{-9}{3 m^2+4}}=\frac{12 \sqrt{m^2+1}}{3 m^2+4}$.
设 $t=\sqrt{m^2+1} \geqslant 1$, 则 $\left|y_1-y_2\right|=\frac{12 t}{3 t^2+1}=\frac{12}{3 t+\frac{1}{t}}$.
$\because y=3 t+\frac{1}{t}$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递增, $\therefore$ 当 $t=1$ 时, $\left(3 t+\frac{1}{t}\right)_{\min }=4 . \quad \cdots \cdots 11$ 分
即当 $m=0$ 时, $S=\left|y_1-y_2\right|$ 取得最大值 3 , 此时直线 $l$ 的方程为 $x=1 . \quad \cdots \cdots 12$ 分


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