成都作为常住人口超 2000 万的超大城市, 注册青年志愿者人数超 114 万, 志愿服务时长超 268 万小时. 2022 年 6 月, 成都 22 个市级部门联合启动了 2022 年成都市青年志愿服务项目大赛, 项目大赛申报期间, 共收到 331 个主体的 416 个志愿服务项目, 覆盖文明实践、社区治理与邻里 守望、环境保护等 13 大领域. 已知某领域共有 50 支志愿队伍申报, 主管部门组织专家对志愿者 申报队伍进行评审打分, 并将专家评分(单位: 分) 分成 6 组: $[40,50),[50,60), \cdots,[90,100]$, 得 到如图所示的频率分布直方图.

(I) 求图中 $m$ 的值;
(II) 已知评分在 $[85,100]$ 的队伍有 4 支, 若从评分在 [80, 90) 的队伍中任选 两支队伍, 求这两支队伍至少有一支队 伍评分不低于 85 分的概率.
【答案】 解: ( I ) 由 $(0.004 \times 2+0.022+0.030+0.028+m) \times 10=1$, 解得 $m=0.012$.
(II) 由题意知不低于 90 分的队伍有 $50 \times 0.04=2$ 支, 故评分在 $[85,90)$ 的队伍有 2 支.
评分在 $[80,90)$ 分的队伍有 $50 \times 0.12=6$ 支.
$\cdots \cdots 5$ 分
记评分落在 $[80,85)$ 的 4 支队伍为 $A_1, A_2, A_3, A_4$; 评分落在 $[85,90)$ 的 2 支队伍为 $B_1$, $B_2$.
则从评分在 $[80,90)$ 的队伍中任选两支队伍的基本事件有: $\left(A_1, A_2\right),\left(A_1, A_3\right),\left(A_1, A_4\right)$, $\left(A_1, B_1\right),\left(A_1, B_2\right),\left(A_2, A_3\right),\left(A_2, A_4\right),\left(A_2, B_1\right),\left(A_2, B_2\right),\left(A_3, A_4\right),\left(A_3, B_1\right),\left(A_3\right.$, $\left.B_2\right),\left(A_4, B_1\right),\left(A_4, B_2\right),\left(B_1, B_2\right)$, 共 15 个.
其中两支队伍至少有一支队伍评分不低于 85 分的基本事件有: $\left(A_1, B_1\right),\left(A_1, B_2\right),\left(A_2\right.$, $\left.B_1\right),\left(A_2, B_2\right),\left(A_3, B_1\right),\left(A_3, B_2\right),\left(A_4, B_1\right),\left(A_4, B_2\right),\left(B_1, B_2\right)$, 共 9 个. $\cdots \cdots 11$ 分 故所求概率为 $P=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$.


系统推荐