已知函数 $f(x)=A \sin (\omega x+\varphi)\left(\omega>0,|\varphi| < \frac{\pi}{2}\right), f(x) \leq f\left(\frac{\pi}{3}\right) \left\lvert\,, f(x)+f\left(\frac{5 \pi}{3}-x\right)=0\right., f(x)$ 在 $\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)$ 上单调递增，则 $\omega$ 的取值可以是（ ）