已知函数 $f(x)=2 \sin \omega x \cos ^2\left(\frac{\omega x}{2}-\frac{\pi}{4}\right)-\sin ^2 \omega x(\omega>0)$ 在区间 $\left[-\frac{2 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{6}\right]$ 上是增函数，且在区间 $[0, \pi]$ 上恰好取得一次最大值，则 $\omega$ 的取值范围是
A
$\left(0, \frac{3}{5}\right]$
B
$\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{5}\right]$
C
$\left[\frac{1}{2}, \frac{5}{2}\right]$
D
$\left(0, \frac{5}{2}\right)$
E
F