已知菱形 $A B C D$ 的边长为 $2, \angle B A D=120^{\circ}$, 点 $E, F$ 分在边 $B C, C D$ 上, $\overrightarrow{B E}=\lambda \overrightarrow{B C}$, $D F=\mu D C$. 若 $\lambda+\mu=\frac{2}{3}$, 则 $\overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}$ 的最小值为
【答案】 $\frac{4}{9}$

【解析】 解:如图,

$$
\begin{aligned}
& \because \overrightarrow{B E}=\lambda \overrightarrow{B C}, \overrightarrow{D F}=\mu \overrightarrow{D C}, \text { 且 } \lambda+\mu=\frac{2}{3}, \\
& \therefore \overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F}=(\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B E}) \cdot(\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D F}), \\
& =(\overrightarrow{A B}+\lambda B C) \cdot(\overrightarrow{A D}+\mu \overline{D C})=(\overrightarrow{A B}+\lambda \overrightarrow{A D}) \cdot(\overrightarrow{A D}+\mu \overrightarrow{A B}) \\
& =(1+\lambda \mu) \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A D}+\lambda|\overrightarrow{A D}|^2+\mu|\overrightarrow{A B}|^2 \\
& =(1+\lambda \mu) \times 2 \times 2 \times\left(-\frac{1}{2}\right)+4(\lambda+\mu)=-2(1+\lambda \mu)+\frac{8}{3} .
\end{aligned}
$$
由题意可得, $\lambda, \mu > 0$,
$$
\begin{aligned}
& \because \lambda+\mu=\frac{2}{3}, \\
& \therefore \lambda \mu \leqslant\left(\frac{\lambda+\mu}{2}\right)^2=\frac{1}{9}, \text { 则 }-2(1+\lambda \mu) \geqslant-\frac{20}{9}, \\
& \therefore-2(1+\lambda \mu)+\frac{8}{3} \geqslant \frac{4}{9} \text { (当且仅当 } \lambda=\mu=\frac{1}{3} \text { 时等号成立), } \\
& \therefore \overrightarrow{A E} \cdot \overrightarrow{A F} \text { 的最小值为 } \frac{4}{9} .
\end{aligned}
$$
故答案为: $\frac{4}{9}$.
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单选题 来源:2023学年度韩国高考(大学修学能力考试)数学试卷
如图所示,有圆心为$O$,半径为$1$,圆心角为$\frac{\pi}{2}$的扇形 $OA_1B_1$, 弧$A_1B_1$ 上有一点$P_1$,到$OA_1$的垂直为$C_1$,到$OB_1$的垂足为$D_1$,矩形$OC_1P_1D_1$满足 $\overline{O C_1}: \overline{O D_1}=3: 4$ 扇形$OA_1B_1$内部的点$Q_1$满足 $\overline{P_1 Q_1}=\overline{A_1 Q_1}, \angle P_1 Q_1 A_1=\frac{\pi}{2},$ 将等腰直角三角形 $P_1Q_1A_1$涂上阴影,得到图像$R_1$,在图像$R_1$的基础上,在$OA_1$上取点$A_2$, $OB_1$上取点$B_2$,使 $\overline{O Q_1}=\overline{OA_2} =\overline{OB_2} $ 以O为圆心, $\overline{O Q_1} $ 为半径,做圆心为 $\frac {\pi} {2}$ 扇形 $OA_2B_2$, 与$R_1$类似的方法做出 $P_2, C_2,D_2,Q_2$,并得到图像$R_2$, 重复这一过程n次,得到图像${R_n}$ 阴影部分的面积合计为 $S_n$, 求 $\lim_{n \rightarrow\infty}S_n$ [img=/uploads/2022/156134.jpg][/img]