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已知半径为 1 的圆 $O$ 上有三个动点 $A, B, C$, 且 $|A B|=\sqrt{2}$, 则 $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B C}$ 的最小值为
【答案】 $1-\sqrt{2} \# \#-\sqrt{2}+1$

【解析】 因为 $|A B|=\sqrt{2}$, 又 $|O A|=|O B|=1$, 所以 $|O A|^2+|O B|^2=|A B|^2$, 所以 $\angle A O B=\frac{\pi}{2}$ 以 $O$ 为原点, $O A, O B$ 所在直线为 $x, y$ 轴建立平面直角坐标系:


则 $A(1,0), B(0,1)$, 设 $C(x, y)$, 则 $x^2+y^2=1$,
$\overrightarrow{A C}=(x-1, y), \overrightarrow{B C}=(x, y-1)$,
所以 $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B C}=x(x-1)+y(y-1)=x^2+y^2-x-y=-x-y+1$,
设 $-x-y+1=t$, 即 $x+y+t-1=0$,
依题意直线 $x+y+t-1=0$ 与圆有交点,
所以 $\frac{|t-1|}{\sqrt{1+1}} \leq 1$, 得 $1-\sqrt{2} \leq t \leq 1+\sqrt{2}$,
所以 $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B C}$ 的最小值为 $1-\sqrt{2}$.
故答案为: $1-\sqrt{2}$
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