在平行四边形 $A B C D$ 中, $|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}|=|B \overrightarrow{B D}|=3,|\overrightarrow{A B}|=1$, 则 $\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D}=$
【答案】 7

【解析】
因为 $\overrightarrow{B D}=\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B}$, 所以 $|\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B}|=3$, 两边平方得:
$$
\begin{aligned}
& \overrightarrow{A D}^2-2 \overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A B}^2=9(1) \\
& \text { 又 }|\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}|=3, \text { 两边平方得: } \\
& \overrightarrow{A D}^2+2 \overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A B}^2=9(2)
\end{aligned}
$$
两式相减得: $\overrightarrow{A D} \cdot \overrightarrow{A B}=0$,
所以 $\overrightarrow{A D}^2+\overrightarrow{A B}^2=9$,
因为 $|\overrightarrow{A B}|=1$, 所以 $|\overrightarrow{A D}|=2 \sqrt{2}$,
$\overrightarrow{A C} \cdot \overrightarrow{B D}=(\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{A B})(\overrightarrow{A D}-\overrightarrow{A B})=\overrightarrow{A D^2}-\overrightarrow{A B^2}=8-1=7$,
故答案为: 7
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