已知 $\triangle A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c, A=\frac{\pi}{3}, c=3, a \sin B=\sqrt{3}, D, E$ 分 别为线段 $A B, A C$ 上的动点, $\frac{A D}{A B}=\frac{C E}{C A}$, 则 $D E$ 的最小值为
【答案】 $\frac{3}{19} \sqrt{57}$

【解析】 在 $\triangle A B C$ 中, 由正弦定理得: $\frac{a}{\sin \frac{\pi}{3}}=\frac{3}{\sin C}, \therefore a \sin C=3 \sin \frac{\pi}{3}=\frac{3 \sqrt{3}}{2}$,
$\therefore \frac{\sin C}{\sin B}=\frac{a \sin C}{a \sin B}=\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}=\frac{3}{2}$, 由正弦定理得: $\frac{c}{b}=\frac{3}{2}, \therefore b=2$;
设 $\overrightarrow{A D}=t \overrightarrow{A B}(0 \leq t \leq 1)$, 则 $\overrightarrow{C E}=t \overrightarrow{C A}=-t \overrightarrow{A C}, \therefore \overrightarrow{A E}=\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C E}=(1-t) \overrightarrow{A C}$,
$\therefore \overrightarrow{D E}^2=(\overrightarrow{A E}-\overrightarrow{A D})^2=((1-t) \overrightarrow{A C}-t \overrightarrow{A B})^2=(1-t)^2 b^2+t^2 c^2-2 t(1-t) b c \cos A$
$=4(1-t)^2+9 t^2-6 t(1-t)=19 t^2-14 t+4$,
$\therefore$ 当 $t=\frac{7}{19}$ 时, $\left(\overrightarrow{D E}^2\right)_{\min }=\frac{49}{19}-\frac{98}{19}+4=\frac{27}{19}, \therefore|\overrightarrow{D E}|_{\min }=\frac{3 \sqrt{57}}{19}$,
即 $D E$ 的最小值为 $\frac{3 \sqrt{57}}{19}$.
故答案为: $\frac{3 \sqrt{57}}{19}$.
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