已知平面向量 $\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}$ 满足 $\left|2 \overrightarrow{e_2}-\overrightarrow{e_1}\right|=2$, 设 $\vec{a}=\overrightarrow{e_1}+4 \overrightarrow{e_2}, \vec{b}=\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$, 若 $1 \leq \vec{a} \cdot \vec{b} \leq 2$, 则 $|\vec{a}|$ 的取值范围为
【答案】 $[\sqrt{3}-1, \sqrt{5}+1]$

【解析】 设 $\vec{c}=\overrightarrow{e_1}-2 \overrightarrow{e_2}$, 则 $\vec{b}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{c})$, 则由条件 $1 \leq \vec{a} \cdot \vec{b} \leq 2$ 知 $2 \leq \vec{a} \cdot(\vec{a}+\vec{c}) \leq 4$, 所以 $3 \leq \vec{a}^2+\vec{a} \cdot \vec{c}+\frac{1}{4} \vec{c}^2 \leq 5$, 所以 $\sqrt{3} \leq\left|\vec{a}+\frac{\vec{c}}{2}\right| \leq \sqrt{5},\left|\frac{\vec{c}}{2}\right|=1$, 又 ||$\vec{a}+\frac{\vec{c}}{2}|-| \frac{\vec{c}}{2}|| \leq|\vec{a}|=\left|\vec{a}+\frac{\vec{c}}{2}-\frac{\vec{c}}{2}\right| \leq\left|\vec{a}+\frac{\vec{c}}{2}\right|+\left|\frac{\vec{c}}{2}\right|$
所以 $\sqrt{3}-1 \leq|\vec{a}| \leq \sqrt{5}+1$.
故答案为: $[\sqrt{3}-1, \sqrt{5}+1]$.
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解答题 来源:2023届湖南师大附中高三第一次月考数学
某工厂为了提高生产效率, 对生产设备进行了技术改造, 为了对比技术改造后 的效果, 采集了技术改造前后各 20 次连续正常运行的时间长度 (单位: 天) 数据, 㢣理如下: 改造前: $19,31,22,26,34,15,22,25,40,35,18,16,28,23,34,15,26,20,24,21$; 改造后: 32, 29, 41, 18, 26, 33, 42, 34, 37, 39, 33, 22, 42, 35, 43, 27, 41, 37, 38, 36 . (1) 完成下面的列联表, 并依据小概率值 $\alpha=0.010$ 的独立性检验, 分析判断技术改造前后的连续正 常运行时间是否有差异? [img=/uploads/2022/6dfefb.jpg][/img] (2)工厂的生产设备的运行需要进行维护, 工厂对生产设备的生产维护费用包括正常维护费和保障 维护费两种, 对生产设备设定维护周期为 $T$ 天 (即从开工运行到第 $k T$ 天, $k \in \mathrm{N}^*$ ) 进行维护, 生产设备 在一个生产周期内设置几个维护周期, 每个维护周期相互独立. 在一个维护周期内, 若生产设备能连续运 行, 则只产生一次正常维护费, 而不会产生保障维护费; 若生产设备不能连续运行, 则除产生一次正常维 护费外, 还产生保障维护费, 经测算, 正常维护费为 $0.5$ 万元/次, 保障维护费第一次为 $0.2$ 万元/周期, 此 后每增加一次则保障维护费增加 $0.2$ 万元. 现制定生产设备一个生产周期 (以 120 天计) 内的维护方案: $T=30, k=1,2,3,4$. 以生产设备在技术改 造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率, 求一个生产周期内生产维护费的分布列及均值. [img=/uploads/2022/628105.jpg][/img]