已知平面向量 $\overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}$ 满足 $\left|2 \overrightarrow{e_2}-\overrightarrow{e_1}\right|=2$, 设 $\vec{a}=\overrightarrow{e_1}+4 \overrightarrow{e_2}, \vec{b}=\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$, 若 $1 \leq \vec{a} \cdot \vec{b} \leq 2$, 则 $|\vec{a}|$ 的取值范围为
【答案】 $[\sqrt{3}-1, \sqrt{5}+1]$
【解析】
设 $\vec{c}=\overrightarrow{e_1}-2 \overrightarrow{e_2}$, 则 $\vec{b}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{c})$, 则由条件 $1 \leq \vec{a} \cdot \vec{b} \leq 2$ 知 $2 \leq \vec{a} \cdot(\vec{a}+\vec{c}) \leq 4$, 所以 $3 \leq \vec{a}^2+\vec{a} \cdot \vec{c}+\frac{1}{4} \vec{c}^2 \leq 5$, 所以 $\sqrt{3} \leq\left|\vec{a}+\frac{\vec{c}}{2}\right| \leq \sqrt{5},\left|\frac{\vec{c}}{2}\right|=1$, 又 ||$\vec{a}+\frac{\vec{c}}{2}|-| \frac{\vec{c}}{2}|| \leq|\vec{a}|=\left|\vec{a}+\frac{\vec{c}}{2}-\frac{\vec{c}}{2}\right| \leq\left|\vec{a}+\frac{\vec{c}}{2}\right|+\left|\frac{\vec{c}}{2}\right|$
所以 $\sqrt{3}-1 \leq|\vec{a}| \leq \sqrt{5}+1$.
故答案为: $[\sqrt{3}-1, \sqrt{5}+1]$.