定义平面向量的一种运算“ $\Theta$ ”如下:对任意的两个向量 $\vec{a}=\left(x_1, y_1\right), \vec{b}=\left(x_2, y_2\right)$, 今 $\vec{a} \Theta \vec{b}=\left(x_1 y_2-x_2 y_1, x_1 x_2+y_1 y_2\right)$, 下面说法一定正确的是
$ \text{A.} $ 对任意的 $\lambda \in R$, 有 $(\lambda \vec{a}) \Theta \vec{b}=\lambda(\vec{a} \Theta \vec{b})$ $ \text{B.} $ 存在唯一确定的向量 $\vec{e}$ 使得对于任意向量 $\vec{a}$, 都有 $\vec{a} \Theta \vec{e}=\vec{e} \Theta \vec{a}=\vec{a}$ 成立 $ \text{C.} $ 若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直, 则 $(\vec{a} \Theta \vec{b}) \Theta \vec{c}$ 与 $\vec{a} \Theta(\vec{b} \Theta \vec{c})$ 共线 $ \text{D.} $ 若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线, 则 $(\vec{a} \Theta \vec{b}) \Theta \vec{c}$ 与 $\vec{a} \Theta(\vec{b} \Theta \vec{c})$ 的模相等
【答案】 AD

【解析】 设向量 $\vec{a}=\left(x_1, y_1\right), \vec{b}=\left(x_2, y_2\right)$, 对于 $\mathrm{A}$, 对任意的 $\lambda \in R$, 有 $(\lambda \vec{a}) \Theta \vec{b}=$ $\left(\lambda x_1, \lambda y_1\right) \Theta\left(x_2, y_2\right)=\left(\lambda x_1 y_2-\lambda x_2 y_1, \lambda x_1 x_2+\lambda y_1 y_2\right)$ $=\lambda\left(x_1 y_2-x_2 y_1, x_1 x_2+y_1 y_2\right)=\lambda(\vec{a} \Theta \vec{b})$, 故 A 正确;
对于 $\mathrm{B}$, 假设存在唯一确定的向量 $\vec{e}=\left(x_0, y_0\right)$ 使得对于任意向量 $\vec{a}$, 都有 $\vec{a} \Theta \vec{e}=\vec{e} \Theta \vec{a}=\vec{a}$ 成立, 即 $\left(x_1 y_0-x_0 y_1, x_1 x_0+y_1 y_0\right)=\left(x_0 y_1-x_1 y_0, x_0 x_1+y_0 y_1\right)=\left(x_1, y_1\right)$ 恒成立, 即 方程组
$\left\{\begin{array}{c}x_1 y_0-x_0 y_1=x_0 y_1-x_1 y_0=x_1 \\ x_1 x_0+y_1 y_0=y_1\end{array}\right.$, 对任意 $x_1, y_1$ 恒成立, 而此方程组无解, 故 B 不正确; 对于 $\mathrm{C}$, 若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直, 则 $x_1 x_2+y_1 y_2=0$, 设 $\vec{c}=\left(x_3, y_3\right)$,
则 $(\vec{a} \Theta \vec{b}) \Theta \vec{c}=\left(x_1 y_2-x_2 y_1, 0\right) \Theta\left(x_3, y_3\right)=\left(x_1 y_2 y_3-x_2 y_1 y_3, x_1 y_2 x_3-x_2 y_1 x_3\right)$, $\vec{a} \Theta(\vec{b} \Theta \vec{c})=\left(x_1, y_1\right) \Theta\left(x_2 y_3-x_3 y_2, x_2 x_3+y_2 y_3\right)$
$$
\begin{aligned}
& =\left(x_1 x_2 x_3+x_1 y_2 y_3-y_1 x_2 y_3+y_1 x_3 y_2, x_1 x_2 y_3-x_1 y_2 x_3+y_1 x_2 x_3+y_1 y_2 y_3\right) \\
& =\left(x_1 y_2 y_3-y_1 x_2 y_3,-x_1 y_2 x_3+y_1 x_2 x_3\right) \neq \mu\left(x_1 y_2 y_3-y_1 x_2 y_3, x_1 y_2 x_3-y_1 x_2 x_3\right), \text { 其中 }
\end{aligned}
$$
$\mu \in \mathrm{R}$, 故 C 不正确;
对于 $\mathrm{D}$, 若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线, 则 $x_1 y_2-x_2 y_1=0$, 设 $\vec{c}=\left(x_3, y_3\right)$,
$(\vec{a} \Theta \vec{b}) \Theta \vec{c}=\left(0, x_1 x_2+y_1 y_2\right) \Theta\left(x_3, y_3\right)=\left(-x_1 x_2 x_3-y_1 y_2 x_3, x_1 x_2 y_3+y_1 y_2 y_3\right)$,
$\vec{a} \Theta(\vec{b} \Theta \vec{c})=\left(x_1 x_2 x_3+x_1 y_2 y_3-y_1 x_2 y_3+y_1 y_2 x_3, x_1 x_2 y_3-x_1 y_2 x_3+y_1 x_2 x_3+y_1 y_2 y_3\right)$
$=\left(x_1 x_2 x_3+y_1 y_2 x_3, x_1 x_2 y_3+y_1 y_2 y_3\right)$, 所以 $(\vec{a} \Theta \vec{b}) \Theta \vec{c} 与 \vec{a} \Theta(\vec{b} \Theta \vec{c})$ 的模相等, 故 D正确.
故选: $\mathrm{AD}$.
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