已知 $\triangle A B C$ 是半径为 2 的圆 $O$ 的内接三角形, 则下列说法正确的是
$ \text{A.} $ 若角 $C=\frac{\pi}{3}$, 则 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A O}=12$ $ \text{B.} $ 若 $2 \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{0}$, 则 $|\overrightarrow{B C}|=4$ $ \text{C.} $ 若 $|\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}|=\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}$, 则 $\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}$ $ \text{D.} $ 若 $(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B A}) \cdot \overrightarrow{A C}=|\overrightarrow{A C}|^2$, 则 $A B$ 为圆 $O$ 的一条直径
【答案】 BC

【解析】 对于 $\mathrm{A}$, 作 $O D$ 垂直于 $A B$. 垂足为 $D$, 则 $A D=\frac{1}{2} A B$,
由正弦定理得 $A B=2 \times 2 \times \sin C=4 \times \sin \frac{\pi}{3}=2 \sqrt{3}$,


故 $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A O}=|\overrightarrow{A B}| \cdot|\overrightarrow{A O}| \cdot \cos \angle B A O=|\overrightarrow{A B}| \cdot|\overrightarrow{A D}|=\frac{1}{2} \times(2 \sqrt{3})^2=6$, 故 $\mathrm{A}$ 错误;
对于 $\mathrm{B}$, 由 $2 \overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{0}$ 得, $\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{A C}=\overrightarrow{0}$,
即 $\overrightarrow{O B}+\overrightarrow{O C}=\overrightarrow{0}$, 则点 $O$ 为 $B C$ 的中点, 即 $B C$ 为圆的直径, 故 $|\overrightarrow{B C}|=4$, B 正确;
对于 $\mathrm{C}$, 设 $\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}$ 的夹角为 $\theta$,
由 $|\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}|=\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B}$ 得, $|\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}|^2=(\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B})^2$, 即 $8-8 \cos \theta=16 \cos ^2 \theta$,
解得 $\cos \theta=\frac{1}{2}$ 或 $\cos \theta=-1$,
由于 $|\overrightarrow{O A}-\overrightarrow{O B}|=\overrightarrow{O A} \cdot \overrightarrow{O B} > 0$, 故 $\cos \theta=\frac{1}{2}, \theta \in(0, \pi)$, 故 $\theta=\frac{\pi}{3}$,
则 $\overrightarrow{O A}, \overrightarrow{O B}$ 的夹角为 $\frac{\pi}{3}, \mathrm{C}$ 正确;
对于 $\mathrm{D}$, 由 $(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B A}) \cdot \overrightarrow{A C}=|\overrightarrow{A C}|^2$ 得 $(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B A}) \cdot \overrightarrow{A C}-|\overrightarrow{A C}|^2=(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B A}-\overrightarrow{A C}) \cdot \overrightarrow{A C}=0$
即 $(\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{B A}+\overrightarrow{C A}) \cdot \overrightarrow{A C}=0,2 \overrightarrow{B A} \cdot \overrightarrow{A C}=0$, 则 $B C$ 为圆 $O$ 的一条直径, $\mathrm{D}$ 错误,
故选:BC
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