已知复数 $z_1$ 对应的向量为 $\overrightarrow{O Z_1}$, 复数 $z_2$ 对应的向量为 $\overrightarrow{O Z_2}$, 则
$ \text{A.} $ 若 $\left|z_1+z_2\right|=\left|z_1-z_2\right|$, 则 $\overline{O Z_1} \perp \overline{O Z_2}$ $ \text{B.} $ 若 $\left(\overrightarrow{O Z_1}+\overrightarrow{O Z_2}\right) \perp\left(\overrightarrow{O Z_1}-\overrightarrow{O Z_2}\right)$, 则 $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|$ $ \text{C.} $ 若 $z_1$ 与 $z_2$ 在复平面上对应的点关于实轴对称, 则 $z_1 z_2=\left|z_1 z_2\right|$ $ \text{D.} $ 若 $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|$, 则 $z_1^2=z_2^2$
【答案】 ABC

【解析】 因为 $\left|z_1+z_2\right|=\left|z_1-z_2\right|$, 所以 $\left|\overrightarrow{O Z_1}+\overrightarrow{O Z_2}\right|=\left|\overrightarrow{O Z_1}-\overrightarrow{O Z_2}\right|$,
则 $\left|\overrightarrow{O Z_1}+\overrightarrow{O Z_2}\right|^2=\left|\overrightarrow{O Z_1}-\overrightarrow{O Z_2}\right|^2$, 即 $4 \overrightarrow{O Z_1} \cdot \overrightarrow{O Z_2}=0$, 则 $\overrightarrow{O Z_1} \perp \overrightarrow{O Z_2}$, 故选项 $\mathrm{A}$ 正确; 因为 $\left(\overrightarrow{O Z_1}+\overrightarrow{O Z_2}\right) \perp\left(\overrightarrow{O Z_1}-\overrightarrow{O Z_2}\right)$, 所以 $\left(\overrightarrow{O Z_1}+\overrightarrow{O Z_2}\right) \cdot\left(\overrightarrow{O Z_1}-\overrightarrow{O Z_2}\right)=0$, 即 $\overline{O Z}_1^2={\overline{O Z_2}}^2$, 则 $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|$, 故选项 B 正确;
设 $z_1=a+b \mathrm{i}(a, b \in R)$, 因为 $z_1$ 与 $z_2$ 在复平面上对应的点关于实轴对称, 则 $z_2=a-b \mathrm{i}(a, b \in R)$, 所以 $z_1 z_2=a^2+b^2,\left|z_1 z_2\right|=a^2+b^2$, 则 $z_1 z_2=\left|z_1 z_2\right|$, 故选项 C 正确;
若 $z_1=1+\mathrm{i}, z_2=1-\mathrm{i}$ 满足 $\left|z_1\right|=\left|z_2\right|$, 而 $z_1^2 \neq z_2^2$, 故选项 D 错误;
故选: ABC.
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