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已知 $\triangle A B C$ 的外接圆圆心为 $O$, 且 $2 \overrightarrow{A O}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C},|\overrightarrow{O A}|=|\overrightarrow{A B}|$, 则向量 $\overrightarrow{O C}$ 在向量 $\overline{C A}$ 上的投影向量为
$ \text{A.} $ $\frac{1}{2} \overrightarrow{C A}$ $ \text{B.} $ $\frac{\sqrt{3}}{2} \overrightarrow{O C}$ $ \text{C.} $ $-\frac{1}{2} \overrightarrow{C A}$ $ \text{D.} $ $-\frac{\sqrt{3}}{2} \overrightarrow{O C}$
【答案】 C

【解析】

【解析】依题意 $\triangle A B C$ 三角形的外接圆圆心为 $O$, 且 $2 \overrightarrow{A O}=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A C}$, 所以 $O$ 是 $B C$ 的中点, 即 $B C$ 是圆 $O$ 的直径, 且 $\angle B A C=\frac{\pi}{2}$, 由于 $|\overrightarrow{O A}|=|\overrightarrow{A B}|$, 所以三角形 $O A B$ 是等边三角形,
设圆 $O$ 的半径为 1 , 则 $|\overrightarrow{O C}|=1,|\overrightarrow{C A}|=\sqrt{3}$,
所以向量 $\overrightarrow{O C}$ 在向量 $\overrightarrow{C A}$ 上的投影向量为 $|\overrightarrow{O C}| \cdot \cos \frac{5 \pi}{6} \cdot \frac{\overrightarrow{C A}}{|\overrightarrow{C A}|}=-\frac{1}{2} \overrightarrow{C A}$.
故选: C.
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