已知 $\triangle A B C$ 为等边三角形, $A B=2$, 设点 $P 、 Q$ 满足 $\overrightarrow{A P}=\lambda \overrightarrow{A B}, \overrightarrow{A Q}=(1-\lambda) \overrightarrow{A C}, \lambda \in R$, 若 $\overrightarrow{B Q} \cdot \overrightarrow{C P}=-\frac{3}{2}$, 则 $\lambda=$
$ \text{A.} $ $\frac{1}{8}$ $ \text{B.} $ $\frac{1}{4}$ $ \text{C.} $ $\frac{1}{2}$ $ \text{D.} $ $\frac{3}{4}$
【答案】 C

【解析】 由题意可知, $\overrightarrow{B Q}=\overrightarrow{A Q}-\overrightarrow{A B}=(1-\lambda) \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{C P}=\overrightarrow{A P}-\overrightarrow{A C}=\lambda \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C}$,
又 $\because \triangle A B C$ 为等边三角形, $A B=2, \overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}=2 \times 2 \times \frac{1}{2}=2$,
$$
\overrightarrow{B Q} \cdot \overrightarrow{C P}=[(1-\lambda) \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}] \cdot(\lambda \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A C})=\lambda(1-\lambda) \times 2-4 \lambda-4(1-\lambda)=-\frac{3}{2} \text {, }
$$
解得 $\lambda=\frac{1}{2}$,
故选: C.
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