定义在 R 上的函数 $f(x)=2 \sin \left(\omega x+\frac{\pi}{3}\right)\left(\omega \in \mathrm{N}^*\right)$ 满足在区间 $\left(-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right)$ 内恰有两个零点和一个极值点，则下列说法不正确的是
A
$f(x)$ 的最小正周期为 $\frac{\pi}{2}$
B
将 $f(x)$ 的图象向右平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位长度后关于原点对称
C
$f(x)$ 图象的一个对称中心为 $\left(\frac{\pi}{6}, 0\right)$
D
$f(x)$ 在区间 $\left(-\frac{\pi}{6}, 0\right)$ 上单调递增
E
F