已知函数 $f(x)=\sin \omega x-\sqrt{3} \cos \omega x(\omega>0, x \in \mathrm{R})$ ，且 $f(x)$ 所有的正零点构成一个公差为 $\frac{\pi}{2}$ 的等差数列，把函数 $f(x)$ 的图象沿 $x$ 轴向左平移 $\frac{\pi}{3}$ 个单位，横坐标伸长到原来的 2 倍得到函数 $g(x)$ 的图象，则下列关于函数 $g(x)$ 的结论正确的是（ ）
A
函数 $g(x)$ 是偶函数
B
$g(x)$ 的图象关于点 $\left(-\frac{\pi}{3}, 0\right)$ 对称
C
$g(x)$ 在 $\left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right]$ 上是增函数
D
当 $x \in\left[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}\right]$ 时，函数 $g(x)$ 的值域是 $[1,2]$
E
F