在某地举办的智能 $\mathrm{AI}$ 大赛中, 主办方设计了一个矩形场地 $A B C D$ (如图), $A B$ 的长 为 9 米, $A D$ 的长为 18 米. 在 $A B$ 边上距离 $A$ 点 6 米的 $F$ 处有一只电子狗, 在距离 $A$ 点 3 米的 $E$ 处放置一个机器人. 电子狗的运动速度是机器人运动速度的两倍, 如果同时出发, 机器人比电子狗早到达或同时到达某点 (电子狗和机器人沿各自的直线方向到达某点), 那么电子狗将被机器人捕获, 电子狗失败, 这点叫失败点.
(1) 判断点 $A$ 是否为失败点 (不用说明理由);
(2)求在这个矩形场地内电子狗失败的区域面积 $S$;
(3) 若 $P$ 为矩形场地 $A D$ 边上的一动点, 当电子狗在线段 $F P$ 上都能逃脱时, 求 $\frac{|A P|}{|A D|}$ 的取值范围.
【答案】 (1) $A$ 是失败点;
(2) 建立以 $A$ 点为坐标原点, $A D$ 为 $x$ 轴, $A B$ 为 $y$ 轴的直角坐标系, 如图 $E(0,3), F(0,6)$,

设机器人的速度为 $v$, 则电子狗的速度为 $2 v$, 电子狗失败的区域内任意点 $P(x, y)$
可得 $\frac{\sqrt{x^2+(y-3)^2}}{v} \leq \frac{\sqrt{x^2+(y-6)^2}}{2 v}$,
即 $x^2+(y-2)^2 \leq 4 ,(0 \leq x \leq 2)$ ,
即失败点组成的区域为以 $(0,2)$ 为圆心, 2 为半径的半圆及其内部, $\quad \cdots \cdots 6$ 分 所以电子狗失败的区域面积
$$
\left.S=\frac{1}{2} \times 4 \pi=2 \pi \text { 米 }^2\right) ;
$$
(3) 当线段 $F P$ 与 (2) 中圆相切时, $\angle A F P=30^{\circ}$,
所以 $|A P|=6 \tan 30^{\circ}=2 \sqrt{3}$,
$\cdots \cdots 10$ 分
因为电子狗在线段 $F P$ 上都能逃脱时, 所以 $|A P| \in(2 \sqrt{3}, 18]$
又因为 $|A D|=18$, 所以 $\frac{|A P|}{|A D|}$ 的取值范围是 $\left(\frac{\sqrt{3}}{9}, 1\right]$.


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