已知点 $(4,2)$ 在抛物线 $C: x^2=2 p y$ 上, 直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点, $O$ 为坐标原点, 且 $\angle A O B=90^{\circ}$.
(1) 求抛物线 $C$ 的焦点到准线的距离;
(2) 求 $\triangle A O B$ 面积的最小值.
【答案】 (1)
将点 $(4,2)$ 代入方程 $x^2=2 p y$, 解得 $p=4$,
所以抛物线 $C$ 的焦点到准线的距离为 4;
(2)
设 $A\left(x_1, y_1\right), B\left(x_2, y_2\right)$, 直线 $l$ 的方程为 $y=k x+b$,
联立 $\left\{\begin{array}{c}x^2=8 y \\ y=k x+b\end{array}\right.$,消去 $y$, 整理得 $x^2-8 k x-8 b=0$
所以 $\left\{\begin{array}{c}\Delta=64 k^2+32 b > 0 \\ x_1+x_2=8 k \\ x_1 x_2=-8 b\end{array}\right.$,
因为 $\angle A O B=90^{\circ}$, 所以 $x_1 x_2+y_1 y_2=0$,

即 $x_1 x_2+\frac{x_1^2}{8} \cdot \frac{x_2^2}{8}=0$

代入可得: $-8 b+b^2=0$, 即 $b=8$ 或 $b=0$ (不符合题意舍掉), 所以 $S_{\triangle O B}=\frac{1}{2} \times 8\left|x_1-x_2\right|=4 \sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4 x_1 x_2}=4 \sqrt{64 k^2+256}$ 所以当 $k=0$ 时, $\triangle A O B$ 面积有最小值 64 .


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