如图, 四棱雉 $P-A B C D$, 底面 $A B C D$ 为正方形, $P B \perp$ 平面 $A B C D, E$ 为线段 $P B$ 的 中点.
(1) 证明: $A C \perp P D$;
(2) 若 $P B=2 A B=2$, 求直线 $D E$ 与平面 $P C D$ 所成角的正弦值.
【答案】
(1) 证明: 连接 $A C$, 设 $A C$ 与 $B D$ 交点为 $O$, 连接 $P O$, 因为 $A B C D$ 为正方形, 所以 $A C \perp B D$, 因为 $P B \perp$ 平面 $A B C D$, 所以 $A C \perp P B$, 因为 $B D \cap P B=B$, 所以 $A C \perp$ 平面 $P B D$, 所以 $A C \perp P D$;


(2)
(2) 解:
因为 $B A, B C, B P$ 两两垂直,
所以建立空间直角坐标系 $B-x y z$, 如图所示.
所以 $C(0,1,0), D(1,1,0), P(0,0,2), E(0,0,1)$,
所以 $\overrightarrow{C D}=(1,0,0), \overrightarrow{P C}=(0,1,-2), \overrightarrow{D E}=(-1,-1,1)$,
设平面 $P C D$ 的一个法向量为 $n=(x, y, z)$,
则 $\left\{\begin{array}{l}n \cdot \overline{C D}=0 \\ n \cdot \overline{P C}=0\end{array}\right.$, 即 $\left\{\begin{array}{c}x=0 \\ y-2 z=0\end{array}\right.$ ,
令 $z=1$, 则 $n=(0,2,1)$,
设直线 $D E$ 与平面 $P C D$ 所成角为 $\alpha$, 可知 $\alpha$ 为锐角,
则 $\sin \alpha=|\cos \langle n, \overrightarrow{D E}\rangle|=\frac{|n \cdot \overrightarrow{D E}|}{|n| \cdot|\overrightarrow{D E}|}=\frac{1}{\sqrt{5} \times \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}}{15}$,




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