已知函数 $f(x)=\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)$ ，则下列说法正确的有
A
若 $\left|f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)\right|=2$ ，则 $\left|x_1-x_2\right|_{\text {min }}=\pi$
B
将 $f(x)$ 的图象向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度后得到的图象关于 $y$ 轴对称
C
若 $f(\omega x)$ 在 $[0, \pi]$ 上有且仅有 4 个零点，则 $\omega$ 的取值范围为 $\left[\frac{15}{4}, \frac{19}{4}\right)$
D
$f^{\prime}(x)$ 是 $f(x)$ 的导函数，令 $g(x)=f(x) \cdot f^{\prime}(x)$ ．则 $g(x)$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$ 上的值域为 $(0,1)$
E
F